6.4 Функции нескольких переменных
Определение.
Частной
производной
первого порядка функции нескольких
переменных
по аргументу х
называется предел
(приращение получает
только один аргумент х).
Обозначение:
.
Отыскание частной производной
сводится к дифференцированию функции
одной переменной
,
полученной при фиксировании аргументов
y
и z:
.
Пример 1.
Найти частные производные
функции
.
Решение.
Считая функцию и
функцией только одной переменной х,
а переменные у
и z
рассматривая как постоянные, находим
.
Аналогично, считая и
функцией только у,
а затем только z,
получаем
.
Пример 2.
.
Найти:
и
.
Решение. Рассматривая x как постоянную величину, получим
.
Рассматривая y как постоянную, найдём
.
Пример 3.
.
Найти:
.
Решение. Имеем
;
Пример 4. Показать,
что функция
удовлетворяет уравнению
Решение. Находим
Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:
Получаем тождество, т.е. функция z удовлетворяет данному уравнению.
Пример
5. Дана функция
.
Найти
.
Решение. Найдем первые частные производные:
.
Дифференцируя повторно, получим:
.
Пример
6. Дана функция
.
Найти
.
Решение. Найдем первую частную производную данной функции по переменной x:
7. Порядок защиты и ответственность студента за выполнение контрольной работы
Защита контрольной работы проводится в устной форме. Контрольная работа должна быть сдана за 1 месяц до начала занятий в деканат факультета. Работа считается зачтенной при условии правильного выполнения всех заданий. В прорецензированной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Затем, исправленную контрольную работу студент должен отправить на повторную рецензию. Зачтенные контрольные работы предъявляются студентам при сдаче зачета или экзамена.
8. Список рекомендуемой литературы Список основной литературы
И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу. - М.: Высш. Шк., 2000.
И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. - М.: Высш. Шк., 2000.
Н.С. Бахвалов, А.В. Лаптин, Е.В. Чижанков. Численные методы в задачах и упражнениях.- М.: Высш. Шк., 2000.
А.В. Пантелеев, А.С. Якимова. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. - М.: Высш. шк., 2001.
Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Интеграл-Пресс, 2002.
М.И. Зеленкин. Оптимальное управление и вариационное исчисление. - М.: Едиториал УРСС, 2004.
А.С. Шапкин, Н.П. Мазеева. Математические методы и модели исследования операций. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2006.
В.И. Киреев. Численные методы в примерах и задачах. – М.: Высш. шк., 2004.
В.С. Шипачев. Математический анализ. - М.: Высш. шк., 2002.
П.Е. Данко, А.Г. Попов. Высшая математика в упражнениях и задачах. I, II том. – М.: ООО «Оникс», 2008.