6.2. Введение в математический анализ

Определение. Функция f(x) (F(x)) называется бесконечно малой (бесконечно большой) при x , если .

Определение. Две функции f(x) и , одновременно стремящиеся к нулю или бесконечности при x , называются эквивалентными, если

.

Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией, т.е.

,

если f(x)~f₁(x), ~ .

При решении задач удобно помнить следующие формулы:

Определение: Предел элементарной функции в точке области ее определения равен частному значению этой функции в этой точке:

Нарушение ограничений, накладываемые на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида:

.

Для каждого вида неопределенности существует свое правило раскрытия.

Для раскрытия неопределенности вида , нужно числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной или взять отношение коэффициентов при высшей степени переменной.

Для раскрытия неопределенности вида необходимо выполнить действия, приводящие к сокращению на множитель, создающий неопределенность. Если же дробь содержит не сократимые между собой функции, то необходимо прибегнуть к формулам замены эквивалентных бесконечно малых функций.

Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела.

Остальные виды неопределенностей приводятся к рассмотренным выше, а затем применяется необходимое правило.

I замечательный предел: .

II замечательный предел:

Отметим также, что

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x = a, если:

1. частное значение функции в точке x = a равно f(a);

2. существуют конечные односторонние пределы функции

3. односторонние пределы равны:

4. предельное значение функции в точке x=a равно ее частному значению f(a):

C = f(a).

Обозначение: .

Определение. Точка x = a называется точкой устранимого разрыва, если f(a) .

Определение. Точка x = a называется точкой разрыва I рода, если оба односторонних предела конечны, но .

Определение. Точка x = a называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

Пример 1. Найти .

Решение. Подставляя вместо х его предельное значение, равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе – бесконечно малую функцию:

Поэтому .

Пример 2. Найти .

Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х⁴. В результате получим

поскольку при функции и являются бесконечно малыми.

Пример 3. Найти .

Решение. Для раскрытия получающейся здесь неопределенности вида 0/0 используем метод замены бесконечно малых эквивалентными. Так как при , то

Пример 4. Найти .

Решение. Подстановка приводит к неопределенности . Произведем замену переменных: , . Тогда

Пример 5. Исследовать функцию

на непрерывность; найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Решение. Так как данная функция определена на всей числовой оси, то «подозрительными на разрыв» являются те точки, в которых изменяется аналитическое выражение функции, т.е. и . Вычислим односторонние пределы в этих точках.

Для точки имеем:

Односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой. Следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода.

Для точки получаем

Односторонние пределы функции при равны между собой и равны частному значению функции: Следовательно, исследуемая точка является точкой непрерывности.

График данной функции приведен на рисунке 7.