69 Матричний метод інтегрування однорідних стаціонарних систем

Припустимо, що в системі (6.67) матриця А постійна. Тоді виконуються умови комутативності (6.68). Тому, згідно (6.70), маємо .(6.75) Розглянемо випадок , тоді .(6.76) Властивості матричної експоненти:а) якщо АВ=ВА , то ;б) якщо , то ;в) матриця є розвязком матричного диференціального рівняння (6.67) з початковими умовами . Тому розв'язок задачі Коші запишеться таким чином Таким чином , для знаходження загального розв'язку системи необхідно знайти матрицю .Для цього представимо матрицю А у вигляді , де J – жорданова форма матриці А. Тоді .(6.77)При обчисленні (6.77) враховується, що якщо – -та клітина Жордана

, (6.78) то представимо її у вигляді = , (6.79) де , .Знаходимо .(6.80) Матрицю можна знайти з допомогою ряду (6.71), так як . Це означає, що в ряді (6.71) відмінні від нуля тільки перші членів.

70 Зв’язок лінійних однорідних диференціальних рівнянь з частинними похідними та систем звичайних диференціальних рівнянь в симетричній форміРівняння з частинними похідними першого порядку має вигляд (8.1)Означення 8.1. Розв’язком рівняння (8.1) називається функція

,(8.2)яка визначена і неперервна разом з частинними похідними в деякій області змінних ,.., і перетворює в цій області рівняння (8.1) в тотожність. При цьому ,.., і значення лежать в області визначення функції .Якщо в рівнянні (8.1) функція залежить лінійно від частинних похідних шуканої функції, то воно називається лінійним

.(8.3) Розглянемо однорідне рівняння, тобто випадок коли , а функції , не залежать від .(8.4)Рівняння (8.4) має очевидний розв’язок (c=const).(8.5)

Доведемо, що рівняння (8.4) має безліч розв’язків, відмінних від очевидних.Для цього, разом з (8.4), будемо розглядати систему звичайних диференціальних рівнянь в симетричній формі

= =…= .(8.6)Доведемо дві теореми, які встановлюють зв’язок між рівнянням (8.4) і системою (8.6). Припустимо, що коефіцієнти X ( ,.., ),…, X ( ,.., ) рівняння (8.4) неперервні разом з частинними похідними по x ,..,x в деякому околі точки ,.., і в цій точці вони одночасно не перетворюються в нуль (тобто точка ( ,.., ) не є особливою точкою системи (8.6)).Теорема 8.1. Довільний інтеграл системи (8.6) є неочевидним розв’язком рівняння (8.4).Теорема 8.2. Довільний неочевидний розв’язок рівняння (8.4) є інтегралом системи (8.6).

71 Загальний розв’язок однорідного лінійного рівняння рівняння з частинними похідними. Розв’язування задачі Коші Нехай (8.17)незалежні інтеграли системи (8.6). Тоді функція (8.18) де – будь-яка диференційована функція, буде розв’язком рівняння (8.4)Дійсно, підставимо (8.18) в (8.4) + +...+ = + +..+ = (8.19) Формулу (8.18) називають загальним розв’язком рівняння (8.4). На відміну від загального розв’язку звичайного диференціального рівняння в (8.18) входять не довільні сталі, а довільна функція.Задача знаходження загального розв’язку рівняння (8.4) рівносильна задачі знаходження (n-1) незалежних інтегралів відповідної системи звичайних диференціальних рівнянь в симетричній формі.

Розглянемо випадок двох незалежних змінних

.(8.20) Запишемо систему в симетричній формі = .(8.21) Якщо – інтеграл системи (8.21), то (8.22) загальний розв’язок рівняння (8.20). Тут довільна неперервно диференційована функція від .