Тема 5. Сложное суждение

1. Сложное суждение и его виды.

2. Условия истинности сложных суждений (таблицы истинности).

3. Логическое значение сложных суждений. Логическая «тавтология».

Сложным называется суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений. Простые суждения обозначают строчными буквами латинского (логические переменные): a, b, c, d и т.д. К числу наиболее употребимых логических связок (логические постоянные) относятся следующие:

• отрицание («неверно, что…»), обозначается чертой перед или над буквой «¬» (¬а);

• конъюнкция («и», «но», «,» и т.п.), обозначается знаком «∆» (а ∆ b);

• дизъюнкция («или»), обозначается знаком «v» (а v b);

• строгая дизъюнкция («либо, либо»), обозначается знаком «v» (а v b);

• импликация («если, то»), обозначается знаком «» (аb);

• эквивалентность, тождество («если и только если»), обозначается знаком «» (аb).

Для установления истинности или ложности простых суждений обратимся к действительности. Но как установить истинность или ложность сложных суждений? Для этого принимаются специальные соглашения, выражаемые в таблицах истинности (рис. 2, 3). Каждое простое суждение может быть истинным («и») или ложным («л»). Таблицы истинности устанавливают, какое значение истинности принимает сложное суждение с теми или иными логическими связками при различных наборах истинностных значений входящих в него простых суждений.

а	¬а
и	л
л	и

Рис. 2. Таблица истинности

для отрицания

а	b	а ∆ b	а V b	а V b	аb	аb
и	и	и	и	л	и	и
и	л	л	и	и	л	л
л	и	л	и	и	и	л
л	л	л	л	л	и	и

Рис. 3. Таблица истинности для конъюнкции, дизъюнкции,

строгой дизъюнкции, импликации, эквивалентности

Пользуясь таблицами истинности, можно для каждого сложного суждения сказать, в каких случаях оно будет истинно, а в каких – ложно.

Количество строчек в таблице истинности для сложного суждения вычисляется по формуле 2ⁿ, где n – количество простых суждений (логических переменных). Например, формула сложного суждения имеет вид: а v b v c; сложное суждение содержит три логические переменные, n = 3, 2³ = 8; в таблице истинности для этого суждения должно быть восемь строк.

Среди разнообразных сложных суждений особый интерес представляют те суждения, которые при любых значениях входящих в них простых суждений принимают значение «истина». Такие суждения называются «тождественно истинными суждениями», или «тавтологиями». Они выражают формальные структуры, обеспечивающие корректность мышления при любом содержании. Если при формализации некоторого рассуждения получается тождественно истинная структура, то это означает, что такое рассуждение истинно.