12.Асимптоты(вертикальные, наклонные) графика функции,вывод правила их нахождения.
Вертикальная
асимптота — прямая вида 
при
условии существования предела 
.
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.
Наклонная
асимптота — прямая вида 
при
условии существования пределов
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание:
если хотя бы один из двух упомянутых
выше пределов не существует (или равен 
),
то наклонной асимптоты при 
(или 
)
не существует.
Нахождение вертикальных асимптот.
Нахождение двух пределов
Нахождение двух пределов :
если 
в
п. 2.), то 
,
и предел
находится
по формуле горизонтальной асимптоты, 
.
13.Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Модуль сопряженного числа.
Определение. Комплексным числом называется z=x+iy число , где x -называется действительной частью комплексного числа и обозначается x=ReZ; называется мнимой частью комплексного числа и обозначается x=ImZ . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.
Пример.
Число
называется сопряженным комплексному
числу
,причем
.
14.Операции над комплексными числами в алгебраической форме и их свойства
Сложение
и умножение комплексных чисел производится
по правилам сложения и умножения
алгебраических многочленов; учитывая
при этом, что
и т.д.
Рассмотрим операции над комплексными числами в алгебраической форме
Пусть
Замечание.
Сумма
и произведение комплексных чисел могут
быть вычислены непосредственным
суммированием и перемножением таких
выражений, как обычно раскрывая скобки
и приводя подобные, чтобы представить
результат тоже в стандартной форме (при
этом надо учесть, что
):
15.Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Геометрический смысл операций сложения и вычитания.
Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.
Расстояние
r точки z от нулевой точки, т. е. число
16.Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Геометрический смысл умножения комплексных чисел.
Тригонометрическая форма
Если
вещественную
и мнимую
части комплексного числа выразить
через модуль
и
аргумент
(
,
),
то всякое комплексное число
,
кроме нуля, можно записать в
тригонометрической форме
Рассмотрим операции над комплексными числами в тригонометрической форме:
Геометрический смысл умножения
комплексных чисел. Умножение двух комплексных чисел a=|a|(cos α+i sin α) и b=
=|b|(cos β+i sin β) выполняется по формуле ab=|a|·|b|(cos(α+β)+i sin(α+β)),т. е. |ab|=|a|·|b| и arg(ab)=arg a+arg b. Геометрически это означает, что точка C(ab)
является образом точки A(a) при композиции поворота с центром O на угол β=arg b
и гомотетии с центром O и коэффициентом k=|b| (рис. 4). Поскольку ba=ab, точка
C(ab) будет также образом точки B(b) при композиции поворота с центром O на угол
α=arg a и гомотетии с центром O и коэффициентом |a|. Для построения точки C удобно привлечь точку E(1). Имеем: |ab|/|a|= |b|/ 1
и ориентированные углы EOA и BOC равны α; следовательно, треугольники EOA и BOC подобны, что позволяет построить точку C(ab) по точкам A(a), B(b) и E(1).
Если комплексное число a постоянное, а комплексное число z
переменное, то формулой z_=az записывается коммутативная композиция поворота на угол α=arg a и гомотетии с коэффициентом |a| с общим центром O. Такое преобразование называется гомотетическим поворотом. В частности, если число a действительное (a=a), то z_=az есть гомотетия с центром O и коэффициентом a. Если же число a не явля-
ется действительным и |a|=1, то z_=az есть поворот с центром O
на угол α=arg a. Например, поворот R90◦ O представляется формулой
z_=iz, а поворот R90—формулой z_=−iz.