8. Определение монотонной функции. Достаточное условие монотонности функции на промежутке.

Невозрастающей либо не убывающей называется монотонная функция.

Теорема: (достаточное условие строгой монотонной функции на промежутке)

Y=f(x) дифференцируема на интервале (а,в). Если f’(x)>0 or <0 (для всех х (a.b) то функция Y=f(x) возрастает /убывает на интервале (а,в)

9. Определение экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции(теорема Ферма)

 Пусть функция   определена в некоторой окрестности  ,  , некоторой точки   своей области определения. Точка   называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности   выполняется неравенство   (  ) , и точкой локального минимума, если    .    

 Если точка   -- это точка локального экстремума функции  , и существует производная в этой точке  , то  .Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция   имеет локальный экстремум в точке  , то либо  1)  , либо  2) производная   не существует.

Точка   называется критической точкой функции  , если   непрерывна в этой точке и либо  , либо   не существует. В первом случае (то есть при  ) точка  называется также стационарной точкой функции  .

Итак, локальный экстремум функции   может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

10.Достаточное условие экстремума функции.

Необходимые условия экстремума. Если точка x_о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ^'(x_о) = 0, либо f (x_о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x_о - критическая точка. Если f ^' (x) при переходе через точку x_о меняет знак плюс на минус, то в точкеx_о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную  f ^' (x) в окрестности точки x_о и вторую производную   в самой точке x_о. Если f ^' (x_о) = 0,  >0 ( <0), то точка x_о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же  =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

11.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (теорема вейштрасса-без док-ва)

Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение  , что для любого   справедливо неравенство  .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение  , что для любого   справедливо неравенство  .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе  .

теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией своего наибольшего и наименьшего значений: если функция f(x) непрерывна на [a,b], то найдется такая точка  , в которой функция достигает своего максимума,  найдется такая точка  , в которой функция достигает своего минимума.