Скалярное произведение ненулевых векторов и равно произведению длины вектора на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора на ось, задаваемую вектором :

длина векторного произведения векторов   и   равна площади параллелограмма со сторонами   и   и углом между ними, равным  . В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

8. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение. 1. С угловым коэффициентом. 2. Через 2 точки. 3.Общее уравнение. 4. В отрезках.

Ax+By+C=0 – общее уравнение

  , где a и b - некоторые отличные от нуля действительные числа.

9. Уравнение плоскости в векторной и координатной формах.

10. Уравнение плоскости и прямой в пространстве.

11. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть плоскость   задана уравнением   и дана точка   . Тогда расстояние   от точки   до плоскости   определяется по формуле

12. Условие параллельности и перпендикулярности векторов.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов  .

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны:

 – условие параллельности прямых.

 

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:

 – условие перпендикулярности прямых.

13. Канонические уравнения кривых второго порядка: формулы, определения, чертеж.

14. Предел числовой последовательности.

Предел числовой последовательности – предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство – это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами.

15. Предел функции, его геометрическая интерпретация, действия над пределами.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, – такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении ее аргумента к данной точке.

16. Первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел. Предел, при x стремящийся к нулю синус x на x равен 1.

Второй замечательный предел. Предел, при x стремящийся к бесконечности 1 + 1/x все в степени x равно e.

17. Бесконечно малые величины, их свойства, эквивалентность.

Бесконечно малая величина – числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Свойства бесконечно малых величин.

Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой величины на константу C или на функцию, имеющую конечный предел, есть величина бесконечно малая.

18. Раскрытие неопределенностей.

Раскрытие неопределенностей – методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа: бесконечность на бесконечность, ноль на ноль и т.д.

Для раскрытия неопределенностей бесконечность на бесконечность используется следующий алгоритм: выявление старшей степени переменной и деление на эту переменную, как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределенностей ноль на ноль существует следующий алгоритм: разложение на множители числителя и знаменателя и сокращение дроби.

19. Непрерывность функции в точке. Свойства.

Функция непрерывна в точке, если она в этой точке определена, и пределы справа и слева существуют и равны значению в этой точке.

20. Точки разрыва. Их классификация.

Рассматривая некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки x0, за исключением может быть самой точки x0. Из определения функции следует, что x=x0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной. Непрерывность функции может быть односторонней.

Точка x0 называется точкой разрыва 1 рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но неравные друг другу левый и правый пределы. Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке x=x0, достаточно того, что она определена справа и слева от нее. Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 рода еще называют устранимой точкой разрыва.

Точка x0 называется точкой разрыва 2 рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

21. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Формулировка теоремы Коши и ее геометрический смысл.

22. Производная функции, ее геометрический и механический смысл.

Производная функции – основное понятие в дифференциальном исчислении, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

23. Правила дифференцирования.

24. Дифференциал, определение, геометрический смысл.

Дифференциал – линейная часть приращения функции.

25. Производные и дифференциалы второго порядка. Определения, вычисление.

26. Правило Лопиталя.

Правило Лопиталя – метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределенности вида ноль на ноли или бесконечность на бесконечность. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

27. Применение производных к исследованию функций.

28. Экстремум функции, необходимое и достаточные условия экстремума.

29. Функция нескольких переменных (ФНП). Область определения. Предел и непрерывность ФНП.

30. Частные производные ФНП.

31. Полный дифференциал ФНП.

32. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

33. Производные и дифференциалы высших порядков ФНП.

34. Производная сложной функции (случай нескольких независимых переменных)

35. Производная функций двух переменных, заданной в неявном виде.

36. Экстремум ФНП. Необходимое и достаточное условия экстремума ФНП.

37. Условный экстремум ФНП. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.

38. Первообразная функции, неопределенный интеграл и его свойства.

Первообразная данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть производная от F равна f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределенного интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Неопределенный интеграл для функции f(x) – это совокупность всех первообразных данной функции.

Свойства.

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Первообразная произведения константы и функции равна произведения константы и первообразной функции.

Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке.

У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

39. Таблица интегралов.

40. Методы вычисления неопределенного интеграла (непосредственное интегрирование, подстановкой, по частям).

Непосредственное интегрирование – метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла сводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Метод подстановки. Заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Интегрирование по частям – один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных функций, то справедлива следующая формула: интеграл udv = uv – интеграл vdu

41. Интегрирование рациональных дробей.

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, в котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей.

42. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

43. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Универсальная тригонометрическая подстановка применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определенных и неопределенных интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потерь общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

44. Интегрирование рациональностей.

45. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.

Определенный интеграл – аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента из них есть интегрируемая функция или функционал, а вторая – область во множестве задания этой функции (функционала).

46. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла.

Формула Ньютон-Лейбница или основная теорема анализа дает соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Если f непрерывна на отрезке от a до b, включая их и Ф – ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство: интеграл от a до b f(x)dx = Ф(b) – Ф(a) = Ф от a до b.

Свойства.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.

Определенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определенный интеграл изменит знак.

47. Методы вычислений определенного интеграла (непосредственное, подстановкой, по частям).

48. Приложения определенного интеграла: Вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой.

49. Несобственные интегралы.

Определенный интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: предел a или b (или оба предела) являются бесконечными, функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a;b]

50. Двойные интегралы, определение, вычисление.

Двойным интеграл называется предел двойной интегральной суммы при условии стремления к нулю диаметров всех ячеек, если он существует и не зависит от способа разбиения области D, от способа выбора точек C внутри каждой ячейки.

Вычисление. Двойной интеграл D f(x;y)dxdy = интеграл dx * интеграл f(x;y)dy

51. Замена переменных в двойном интеграле.

52. Тройные интегралы, определение, вычисление.

Тройным интегралом называют кратный интеграл с d=3

53. Замена переменных в тройном интеграле.

54. Применение кратных интегралов к вычислению площадей, объемов.

55. Криволинейные интегралы 1 и 2 рода. Определение и вычисление.

56. Формула Грина.

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру C и двойным интегралом по односвязной области D, ограниченной эти контуром.

Интеграл по замкнутому контуру C Pdx + Qdy = двойной интеграл D (dQ/dx – dP/dy) dxdy

57. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, задачи Коши.

58. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение методом Бернулли и методом вариации произвольных постоянных.

59. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

60. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

61. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

62. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.

63. Скалярное и векторное поля. Поверхности уровня и градиент скалярного поля.

Если каждой точке M заданной области пространства (чаще всего размерности 2 или 3) поставлено в соответствие некоторое число u, то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Скалярное поле – это функция, отображающая R в степени n в R.

Векторное поле – это отображение, которое в каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствии вектор с началом в этой точке

Поверхностью уровня скалярного поля u = u(x;y;z) называется множество точек пространства, в которых функция u принимает одно и то же значение c, то есть поверхность уровня определяется уравнением u(x;y;z) = c.

Градиент grad u – направление скорейшего возрастания поля u = u(r) = u(x;y;z) указывает вектор градиента.

Абсолютная величина вектора градиента u есть производная u по направлению скорейшего роста (скорость роста u при движении с единичной скоростью в этом направлении).

Градиент всегда перпендикулярен поверхностям уровня (в двумерном случае — линиям уровня). Исключение — особые точки поля, в которых градиент равен нулю.