1. Определители, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Различные способы вычисления определителей.

Определитель – одно из основных понятий линейной алгебры. Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов. Т.е определитель характеризует содержание матрицы.

Свойства определителей.

При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

Общий множитель элементов какой-либо строки определителя можно вынести за знак определителя.

Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Минор – определитель такой квадратной матрицы какого-либо порядка, элементы которой стоят в матрице на пересечении строк и столбцов.

Алгебраическое дополнение – число, равное (-1) в степени строка + столбец умноженная на дополнительный минор.

Способы вычисления определителей.

2. Матрицы, основные определения, действия над матрицами.

Матрица – математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся ее элементы.

Основные определения.

Прямоугольная матрица m*n.

Квадратная матрица. Если у матрицы количество строк m совпадает с количеством столбцов n, то такая матрица называется квадратной, а число m=n называется размером квадратной матрицы или ее порядком.

Вектор-строка и вектор-столбец. Матрицы размером m*1 или 1*n.

Элементарные преобразования матриц.

Умножение строки на число отличное от нуля.

Прибавление одной строки к другой.

Перестановка местами двух строк.

Ранг матрицы – количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг матрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный ранг матрицы). Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы, как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Действия над матрицами.

Сложение матриц, имеющих один и тот же размер.

Умножение матрицы подходящего размера (матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить на матрицу, имеющую n строк.)

3. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, по правилу Крамера, с помощью обратной матрицы.

Метод Гаусса – классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.

Правило Крамера – способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем основной матрицы (причем для таких уравнений решение существует и единственно).

Метод решения с помощью обратной матрицы. Ее алгоритм: нахождение определителя, вычисление алгебраических дополнений, транспонировании полученной матрицы и умножении на число равное один деленное на определитель. Полученную матрицы умножить на столбец свободных членов.