38. Дифференциал функции

Пусть функция   дифференцируема в точке  , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно   и нелинейного членов:

где   при  .

Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно   часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом:

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке   равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента  .

39. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Приращение   функции   представимо в виде:

где функция   является б.м. функцией при стремлении аргумента   к нулю. Так как  , то

В силу того, что второе слагаемое   является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому

А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Пример

Задание. Вычислить приближенно   , заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию  . Необходимо вычислить ее значение в точке   . Представим данное значение в виде следующей суммы:

Величины   и   выбираются так, чтобы в точке   можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а   было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что   , то есть  ,  .

Вычислим значение функции   в точке  :

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение  :

Тогда

Итак,

Ответ. 

40. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция   зависит от переменной   и дифференцируема в точке  . Может оказаться, что в точке  дифференциал  , рассматриваемый как функция от  , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала   данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции  . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Определение

Дифференциалом  -го порядка   функции   называется дифференциал от дифференциала  -го порядка этой функции, то есть

Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.

Случай независимой переменной

Пусть   - функция независимой переменной  , имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции

где   - некоторое приращение независимой переменной  , которое мы задаем сами и которое не зависит от  . По определению

Переменной является аргумент  . Значит, для дифференциала величина   является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

Для вычисления дифференциала   применим формулу дифференциала первого порядка к функции  . Тогда получим:

Итак,

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала  -го порядка:

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции 

Решение. По формуле

Найдем третью производную заданной функции:

Тогда

Ответ.