21. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

, где   - многочлены.

Итого:

Первый замечательный предел.

Второй замечательный предел.

Часто если непосредственное нахождение предела какой-либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

23. http://www.kantiana.ru/mathematics/umk/analis10.pdf

24. Определение: Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀  называется число, к которому стремится разностное отношение  , стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Если у функций  f(x) и  g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

25. смотрите выше

26. таблица ниже.

27. Производные высших порядков

Пусть y=f(x) – некоторая заданная функция, а y′=f′(x) – ее производная.

Тогда (y′)′=y′′ – производная второго порядка от функции y. Применяют и другие обозначения этой производной:

– производная третьего порядка от функции y. И т.д.

Кстати, обычную производную y′=f′(x) часто называют производной первого порядка.

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа  . Первые две неопределенности   можно свести к типу   или   с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности   сводятся к типу   с помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов. 

   Пример 1

Вычислить предел  .

Решение.

Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

   Пример 2

Вычислить предел  .

Решение.

Поскольку прямая подстановка приводит к неопределенности типа  , применяем правило Лопиталя.

   Пример 3

Вычислить предел  .

Решение.

Здесь мы имеем дело с неопределенностью типа  . После простых преобразований, получаем

   Пример 4

Найти предел  .

Решение.

Используя правило Лопиталя, можно записать

   Пример 5

Найти предел  .

Решение.

Здесь мы встречаемся с неопределенностью типа  . Обозначим  . После логарифмирования получаем

Далее, по правилу Лопиталя, находим

Соответственно,

   Пример 6

Найти предел  .

Решение.

Предел содержит неопределенность типа  . Пусть  . Тогда

По правилу Лопиталя получаем

Следовательно,