19. Предел числовой последовательности

Определение

Последовательность   называется сходящейся, если существует такое число   такое, чтопоследовательность   является бесконечно малой последовательностью.

Определение

Число   называется пределом последовательности   и обозначается  ,

Число   называется пределом последовательности   , если для любого   существует номер  такой, что для любого   выполняется неравенство   :

Определение

Целой частью   некоторого числа   называется наибольшее целое число, не превосходящее 

Пример

Задание. Найти целую часть чисел - 2,36; 2,36; 2.

Решение. 

Пример

Задание. Доказать равенство: 

Доказательство. Исходя из определения, 0 будет пределом последовательности   , если для любого  найдется такой номер  , что для любого   выполняется неравенство :

В качестве   возьмем 

Итак, для любого   указано соответствующее значение   , а тогда равенство  доказано.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Определение

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся; иначе - расходящейся.

Пример

Задание. Доказать, что последовательность   не имеет предел.

Доказательство. Пусть   - предел рассматриваемой последовательности, то есть  . Рассмотрим 

Пусть   :

Пусть   :

Так как полученные выражения не равны, то данная последовательность предела не имеет.

Постоянная последовательность   имеет предел, равный числу   : 

Теорема

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема

(Необходимый признак сходимости последовательности).

Сходящаяся последовательность ограничена.

Последовательность на бесконечности

Последовательность   имеет бесконечный предел, если для любого 

Последовательность   называется бесконечно малой, если 

Последовательность   называется бесконечно большой, если для любого   существует номер   такое, что для любого 

Теорема

Пусть   , тогда

а)   ;

б)   ;

в) если   , то начиная с некоторого номера заданная последовательность 

20. Предел функции в точке и на бесконечности. Пусть функция  определена на некотором множестве Х и пусть точка. Возьмем из Х последовательность точек, отличных от х₀: х₁, х₂, х₃,…, х_n,…, (1) Сходящиеся к х₀ (предполагается, что такая последовательность существует). Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность  (2) и можно ставить вопрос о существовании её предела. Определение1. Число А называется пределом функции   в точке x=х₀ (или при ), если для любой сходящейся к х₀ последовательности (1) значении аргумента x, отличных от х₀, соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу А. Обозначается  . Функция   может иметь в точке х₀ только один предел. Это следует из того, что последовательность  имеет только один предел. Примеры. 1). Функция  =с=const имеет предел в каждой точке х₀ числовой прямой, т.е. 2). Функция  =x имеет в любой точке х₀ числовой прямой предел, равный х₀, т.е. Определение 2. Число А называется пределом функции   в точке х=х₀, если для любого числа существует число  такое, что для всех  , удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство  . Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением ''на языке последовательностей'', или определением по Гейне (1821-1881 – немецкий математик). Второе определение называют определение м ''на языке  '', или определением по Коши (1789-1857 – французский математик). Можно доказать, что оба определения предела функции в точке х₀ эквивалентны, а это значит, что можно использовать любое из них в зависимости от того какое более удобно при решении той или иной задачи. Кроме рассмотренного понятия предела функции при   существует также понятие предела функции при  . Определение. Число А называется пределом функции   при  , если для любого ^ Е>0 можно указать такое положительное число N, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству  , будет выполнятся неравенство  .