1. Понятие множества. Способы задания множеств. Операции над множествами. Диаграммы Венна.

Под множеством А мы понимаем собрание определённых и различных между собой объектов мыслимых как единое целое. Эти объекты называются элементами множества.

а А

а А, - отношение принадлежности.

Характеристическая функция:

Виды множеств:

-Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными. (Число элементов конечного множества называется его мощностью)

-Пустое множество: множество мощностью 0, т.е не содержащее ни одного элемента, называется пустым.

-Универсальное множество: это любое изучаемое в данный момент множество.

Способы задания множеств.

1. Перечислением (списком своих элементов)

А =

2. Описанием характеристических свойств.(которыми должны обладать его элементы)

- универсальное множество.

x , Р(х) – предикаты.

3. Порождающие процедурой. (которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных либо из других объектов)

Рассмотрим след. пример

X Q

1.3 X;

2.x X 1/x, 1-x X

3.Для других элементов, кроме тех которые построены по пунктам 1,2 в Х нет

Х=

Замечание:Задание множеств с помощью описаний может приводить к противоречиям.

Операции над множествами.

Пусть А и В произвольные множества, заданные на , тогда справедливы следующие операции:

1)пересечение:

А В = {x X| x A u x B}

2)объединение:

A B = {x X| x A uли x B}

3)относительное дополнение:

A\B= {x X| x A и x B}

4)симметрическая разность:

A+B= (A\B) (B\A)

5)абсолютное дополнение:

= \A

2.Равенство множеств. Основные тождества алгебры множеств.

Равенство множеств:

Условимся говорить, что множества А и В равны и писать А=В, если А и В состоят из одних и тех же элементов.

Основные тождества.

Пусть задано множество , а А, В, С подмножества множества , тогда выполняются следующие свойства:

-1 A B = В А

-2 A А = А

-3 A (B С) = (A B) С

-4 А В = В А

-5 А А = А

-6 А (В С) = (А В) С

-7 А (В С) = (A B) ( A С)

-8 A (В С) = (А В) (А С)

-9 А (А В) = А

-10 A (А В) = А

-11 = А

-12

-13

-14 А = (A B) (А )

-15 А = (А В) (А )

-16 A =

-17 A = 0

-18 A 0 = А

-19 A 0 = 0

-20 A =

-21 A = А

-22 А\В = А

3. Прямое произведение множеств. Отношения, бинарные отношения. Операции над отношениями.

Прямым произведением множеств X u Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех пар, первая компонента которой Х, а вторая Y.

X*Y

Пример:

X = {a,b} Y = {1,2,3}

X*Y={<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>}

X*Y Y*X

(*) X1,X2,…Xn

Прямым произведением множества (*) называется множество, состоящее из всех тех и только тех картежей длины l, первая компонента которой Х1, вторая Х2 ... и n Xn,Это множество обозначается: X1*X2*…*Xn = {<x1,x2,…xn>| x1 X1……}

Отношения, бинарные отношения.

Рассмотрим вспомогательное понятие картеж.

Упорядоченная пара <x,y> интуитивно определяется, как совокупность, состоящая из 2-х элементов х Х и y Y, расположенных в определённом порядке.

Две пары <x,y> u <U,V> равны тогда и только тогда, когда x=U, y=V

<1,z> <z,1>

Картеж или упорядоченный набор n элементов x1 X1, x2 X2…. xn Xn обозначается <x1,x2,x3…xn> и по определению есть <<x1,x2,x3….xn-1>,xn>.

Два картежа и :

=<x1,x2…..xn>

=<y1,y2….ym> равны тогда и только тогда, когда n = m и (x1=y1 X1

x2=y2 X2 )

Число n – называется длинной картежа, а элементы xi – итой проэкцией ( координата компоненты картежа).

Операции над отношениями.

1. Для бинарных отношений обычным образом определены все теоретико-множественные операции: , ,\, ,+,*

2. Обратное отношение: обратным (инверсным) отношением называется отношение

={<x,y>| <y,x> }

3. Композиция отношений:

а) X*Y

Z*Y

Композицией двух бинарных отношений и называется отношение X*Y, которая определяется следующим образом:

= ={<x,y>| x X, y Y и Z x y и z y}

б) Композиция отношений на множестве X:

= ={<x,y>| , что x z и z y}

Замечание:

Композиция отношений на множестве X порождает понятие: степень отношения

= ^2 = ^3 ^n= ^n-1