Тема 9. Оптимальное управление.

План лекции:

Постановка задачи оптимального управления.

Формулировка принципа максимума.

Теорема (принцип максимума Понтрягина).

Примеры применения принципа максимума.

Краткое содержание лекции

Постановка задачи оптимального управления

Состояние объекта управления характеризуется nмерной вектор функцией, например, функцией времени x = [x₁(t), x₂(t), …, x_n(t)].

От управляющего органа к объекту управления поступает векторфункция u = [u₁(t), u₂(t), …, u_r(t)].

Векторы x и u , обычно связаны между собой какимлибо соотношением.

Наиболее развитым в настоящее время является уравнение, в котором векторы связаны системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Итак, пусть движение управляемого объекта описывается системой дифференциальных уравнений:

x = f(x,u,t), (1)

где x = (x₁, …, x_n)  вектор координат объекта или фазовых координат, f = (f₁, …, f_n)  заданная векторфункция, u = (u₁, …, u_r)  вектор управлений или просто управление.

В уравнении (1) векторы x, u являются функциями переменной t, обозначающей время, причем

t  [t₀, T], где [t₀, T]  отрезок времени, на котором происходит управление системой.

На управление обычно накладывается условие:

u(t)  U(t), t  [t₀, T], (2)

где U(t)  заданное множество в Rⁿ при каждом t[t₀, T].

Будем называть далее управлением кусочнонепрерывную на отрезке [t₀, T] (т. е. имеющую конечное число разрывов первого рода) rмерную векторфункцию u, непрерывную справа в точках разрыва и непрерывную в точке T.

Управление u называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничению (2). Заметим, что ограничиться рассмотрением непрерывных управлений оказывается невозможным, так как с их помощью трудно моделировать моменты переключения управления такие, как, например, включение и отключение двигателей, отделение ступеней ракеты, поворот рулей и т. д. Иногда рассматривают и более широкие классы допустимых управлений, например, класс всех ограниченных измеримых управлений, удовлетворяющих условию (2).

Покажем, как при произвольном начальном положении x₀  Rⁿ и допустимом управлении u определяется траектория управляемого объекта.

Рассмотрим задачу Коши:

x(t) = f(x(t), u(t), t), t₀  t  T (3)

Поскольку при разрывных правых частях классическое понятие решения системы дифференциальных уравнений неприменимо, поясним, что понимается в данном случае под решением задачи (3).

Пусть функция u имеет скачки в точках r₁, r₂, …, r_k причем t₀ < r₁ < r₂ < … < r_k < T.

Предположим, что задача (3) имеет решение х, определенное на всем отрезке [t₀, r₁], причем x(r₁) = x₁.

Далее рассмотрим задачу Коши:

x(t) = f(x(t), u(t), t), x(r₁) = x₁.

Предполагая, что она имеет решение на отрезке [r₁, r₂] и x(r₂) = x₂, приходим к задаче:

x(t) = f(x(t), u(t), t), x(r₂) = x₂ и т. д.

Если функцию x удалось определить указанным способом на всем отрезке [t₀, Т], то будем называть ее решением задачи (3) или фазовой траекторией (иногда просто траекторией), соответствующей управлению u.

Отметим, что x  непрерывная по построению функция, удовлетворяющая на отрезке [t₀, T] равенству:

При выполнении определенных условий на f решение задачи (3), соответствующее управлению u, существует и единственно при произвольном начальном положении x₀ и произвольном допустимом управлении u.

Помимо ограничения на управление могут существовать ограничения и на фазовые координаты:

x(t)  X(T), t  [t₀, T] (4)

Ограничения на концах траектории целесообразно рассматривать отдельно:

x(t₀)  S₀(t₀), t₀  ₀, x(T)  S(T), T   (5)

здесь S₀(t₀), S(T)  заданные множества из R; ₀,   заданные множества из R, причем inf₀ < sup, t₀<T.

Таким образом, начальный и конечный моменты времени не обязательно фиксированы.

Случаю фиксированных t₀, Т соответствуют множества ₀, , состоящие из одной точки; при этом говорят, что рассматривается задача с закрепленным временем.

Если S₀(t₀) = {x₀} при любом t₀  ₀₀, то левый конец траектории называют закрепленным.

Если же S₀(t₀) = R при всех t₀  ₀₀, то левый конец траектории называют свободным.

Во всех остальных случаях левый конец называют подвижным.

В аналогичных ситуациях говорят о закрепленном, свободном или подвижном правом конце траектории.

Цель управления в задаче оптимального управления состоит в минимизации некоторого функционала на множестве допустимых наборов.

Если каждой функции y = f(x) определенного класса ставится в соответствии по некоторому закону определенное числовое значение переменной I, то эту переменную называют функционалом от одной функциональной переменной I = I[y] = I[y(x)] = I[f(x)].

Наиболее часто под задачами управления понимаются задачи, в которых роль функционала выполняет интегральный функционал:

Мы будем рассматривать задачу с целевым функционалом:

(6)

представляющим собой сумму интегрального функционала

и терминального функционала (х(Т), Т).

Эта задача называется задачей Больца.

Ее частными случаями являются задача с интегральным функционалом, называемая задачей Лагранжа, и задача с терминальным функционалом, называемая задачей Майера.

Задача с интегральным функционалом при f₀  1называется задачей оптимального быстродействия.

Набор (t₀, Т, х₀, u, х), минимизирующий функционал (6), называется решением задачи оптимального управления, управление u  оптимальным управлением, а траектория х  оптимальной траекторией.

Часто решением задачи оптимального управления называют пару (u, х).

Принцип максимума Понтрягина - необходимое условие оптимальности в таких задачах.

Формулировка принципа максимума.

Рассмотрим задачу оптимального управления, являющуюся частным случаем задачи, сформулированной выше:

(7)

x(t) = f(x(t), u(t), t), x(t₀)  S₀, x(T)  S_T, u(t)  U, t₀  t  T, где

S₀ = {x  Rⁿ | g_i(x) = 0, i = 1, …, m₀},

S_T = {x  Rⁿ | g_i(x) = 0, i = m₀ + 1, …, m} (8)

При этом предполагается, что моменты t₀, Т фиксированы, т. е. рассматривается задача с закрепленным временем; множество U не зависит от времени, фазовые ограничения отсутствуют. Положим: H(x, u, t, ₀, ) = , где ₀ - константа, (t) = (₁(t), …, _n(t))

Функция Н называется функцией Гамильтона.

Система линейных дифференциальных уравнений  = Н_x относительно переменных (₁(t), …, _n(t)) называется сопряженной системой, соответствующей управлению u и траектории x.

Здесь: или .

В более подробной покоординатной записи сопряженная система принимает вид:

(9)

Система (3) имеет при любых начальных условиях единственное решение , определенное и непрерывное на всем отрезке [t₀,T].

Следующая теорема выражает необходимые условия оптимальности в задаче (7).

Теорема (принцип максимума Понтрягина).

Пусть функции f₀, …, f_n, u, , g₁, ..., g_m имеют частные производные по переменным х₁, ..., x_n и непрерывны вместе с этими производными по совокупности аргументов х  Rⁿ, u  U, t  [t₀, Т]. Предположим, что (u, х)  решение задачи (7). Тогда существует решение  сопряженной системы (9), соответствующей управлению u и траектории х, и константа ₀0 такие, что |₀| + ||(t)|| при t  [t₀, Т], и выполняются следующие условия:

а) (условие максимума) при каждом t  [t₀, Т] функция Гамильтона H(x, u, t, ₀, ), достигает максимума по v  U при v = u(t), т.е.

H(x(t), u(t), t, ₀, ) = max_V H(x(t), v(t), t, ₀, ) (10)

б) (условие трансверсальности на левом конце траектории) существуют числа ₁,…,_m0, такие, что

(11)

в) (условие трансверсальности на правом конце траектории) существуют числа _m0+1,…,_m такие, что:

(12)

Центральным в теореме является условие максимума (10).

Если отказаться от предположения о том, что конечный момент времени Т фиксирован, то теорема останется справедливой за исключением условия трансверсальности на правом конце траектории. Условие (12) заменим условием:

и добавить еще одно условие трансверсальности на правом конце траектории:

Примеры применения принципа максимума.

1. Простейшая задача оптимального быстродействия.

Пусть точка движется по прямой в соответствии с законом:

x = u

где х  координата. Требуется найти управление u, переводящее точку из начального положения в начало координат за минимальное время Т (задача оптимального быстродействия). При этом скорость точки в конце траектории должна быть нулевой, а управление  удовлетворять условию:

|u(t)|  1, t[0,T].

Применим к сформулированной задаче принцип максимума Понтрягина. Введем фазовые переменные x₁ = x, x₂ = x. Тогда движение управляемого объекта описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка:

x₁ = x₂,

x₂ = u

Начальное положение:

x₀ = (x⁰₁,x⁰₂)

при t₀=0 и конечное положение (0, 0) фиксированы, а конечный момент времени Т не фиксирован.

В обозначениях приведенных выше в данной задаче U = [-1, 1], f₀=1, Ф=0, а функция Гамильтона имеет вид:

H = ₀ + x₂ + ₂u

Общее решение сопряженной системы:

₁ = -H_x1 = 0, ₂ = -H_x2 = -₁

легко выписывается в явном виде

₁(t) = C,

₂(t) = -Ct + D,

где С, D - постоянные.

Очевидно, что максимум функции Н по uU достигается при:

Таким образом, оптимальное управление u может принимать лишь два значения +1.

2. Определить управление u(t), которое дает минимум интегралу:

,

в процессе, описываемом уравнением

.

Решение.

Введем дополнительную переменную:

Для этой переменной имеем дифференциальное уравнение:

с начальными условиями, получаемыми из (2), т.е. х₂(0)=0. Минимизирующий функционал, используя (2), можно записать в виде I[T]=x₂(T).

Построим функцию Гамильтона:

H = ₁f₁ + ₂f₂ =

₁(-ax₁ + u) + ₂ 1/2(x₁² + u²) =

-a₁x₁ + 1/2₂x₁² + ₁u + 1/2₂u²

Запишем сопряженную систему

Запишем _i(T) = -C_i, ₁(Т)=0 (т.к. C₁=0), ₂(Т)=-1

Из , ₂ = const, ₂(T) = -1 поэтому ₂(t)=-1.

Теперь функция Гамильтона запишется в виде

H = -a₁x₁ + ₁u - 0,5x₁² - 0,5u².

По принципу максимума функция Н при фиксированных х₁ и ₁ достигает максимума по u: , откуда ₁(t) = u(t).

Осталось решить систему уравнений (2) и (3) при условии ₁(t) = u(t), ₂(Т)=-1,

,

с граничными условиями x₁(0) = x₁₀, u(T) = 0.

Сведем данную систему к одному уравнению относительно u.

Добавим к этому уравнению граничные условия u(T)=0, u(T) = u₀ и решим его. Составим характеристическое уравнение k²- (а²+1)=0, k_1,2= = , u = C₁e^t + C₂e^-t

Найдем С₁ и С₂. C₁e^t + C₂e^-t = 0, С₂=-C₁е^2t. Тогда u(t) = C₁(e^t - e^(2T-t))

Используя граничные условия найдем

Таким образом, определено оптимальное решение