6.4. Зубчатые и червячные передачи

Зубчатые и червячные передачи используют в большинстве механизмов прибо­ров для передачи вращательного движения с изменением угловой ско­рос­ти, а также для преобразования вращательного движения в поступа­тель­ное или наоборот.

Конструкция передач, их назначение и области исполь­зования весьма раз­но­об­разны. По взаимному расположению осей валов различают переда­чи:

- цилиндрическими колёсами с параллельными осями валов;

- коническими колёсами с пересекающимися осями валов;

- планетарные и дифференциальные передачи с соосным расположением ведущего и ведомого валов;

- червячные, винтовые и гипоидные передачи со скрещивающимися осями валов.

По форме центроид колёс различают передачи круглыми колё­сами и передачи некруглыми колёсами с переменным пере­даточным отношением.

По числу ступеней зубчатые передачи делятся на односту­пенчатые и многоступенчатые. При этом они могут иметь переда­точные отношения постоянные (редукторы) и меняющиеся ступенями (коробки скоростей).

По характеру относительного движения колёс различают передачи с неподвижными осями вращения колёс и эпициклические - планетарные и дифференциальные, у которых имеются колёса (сателлиты) с подвижными осями вращения.

По виду зацепления зубьев различают передачи с внешним, внутренним и реечным зацеплением.

По расположению зубьев относительно образующей обода колеса раз­личают передачи прямозубые, косозубые, шевронные и с криволи­ней­ными или круговыми зубьями.

По конструктивному выполнению корпуса передачи делятся на открытые и закрытые.

По величине передаваемого момента передачи делятся на силовые, приборные и отсчётные.

Зубчатые передачи используют как для понижения (редукции), так и для повышения угловой скорости двигателя до тре­буемой угловой скорости рабочего звена. Первые называются редукторами, а вторые - мультиплика­торами.

В приборах редукторы позволяют осуществлять малые и точные переме­ще­ния шкал и элементов настройки. В измерительных приборах посредст­вом мультипликаторов “расширяют шкалы”, чтобы произ­водить измерения с высокой точностью.

Планетарные и дифференциальные механизмы приме­ня­ются для реали­за­ции больших передаточных отношений с помощью малогабаритных пере­дач, а также для сложения или вычитания угловых скоростей.

Дифференциальные механизмы имеют две степени свободы (два ведущих звена, например, 1 и 4 на схеме рис. 6.6, а). Каждое из ведущих звеньев может иметь любую угловую скорость, поэтому дифферен­циальный механизм не имеет определённого переда­точ­ного отношения.

Если какое-либо из ведущих звеньев сделать неподвижным, то произой­дёт потеря одной степени свободы и дифференциальный механизм преоб­ра­зу­ется в планетарный с одним ведущим звеном и определённым пере­да­точ­ным отношением.

В приборостроении наибольшее распространение получили диф­фе­­рен­­циальные механизмы. По конструкции они могут быть цилинд­рическими (рис.6.6, а) и коническими (рис. 6.6, б). Ведущие конические шестерни 1 и 3 конического суммирующего механизма получают движение в виде угловых перемещений ₁ и ₂. Эти движения передаются на сателлитные колёса 2 и 4 , на осях которых закреплено водило 5. При этом угол поворота водила

₅ = _В = 0,5(₁+₂)

_В

а

2

)

₁

1

5

₂

_В

3

4

б)

Рис. 6.6. Кинематические схемы цилиндрического (а) и конического (б) дифференциальных механизмов

Кинематические особенности работы планетарных и диффе­рен­­циальных механизмов накладывают ряд конструктивных усло­вий, которые необ­ходимо выполнять при проектировании этих передач:

1) Условие соосности -совпадения осей ведущего и ведомого валов. Для рассмотренной цилиндрической передачи со схемой рис. 6.3, а это условие записывается следующим образом:

(z₁+z₂) m₁₂ = (z₃+z₄) m₃₄ ,

где z₁,z₂, z₃, z₄ -числа зубьев колёс 1,2,3,4 соответственно, m₁₂, m₃₄- модули зацеплений колёс 1-2 и 3-4 соответственно.

2) Условие симметричного расположения сателлитов по окружности, описываемой концом водила. В случае рис. 6.3, а z₁ и z₂ должны быть крат­ными числу сателлитов.

3) Условие соседства - предполагает необходимость наличия зазора между сателлитами. Проверяют на парах колёс с большими сателлитами.

Червячные передачи применяют в приборах и машинах различного назначения при перекрещивающихся осях, когда требуется осуществить передаточное отношение от 7 до 100, редко до 360 и более. Достоинствами червячной передачи являются: малые габариты при больших передаточных отношениях, плавность и бесшумность работы, надёжность и простота в эксплуатации, возможность самоторможения. Недостатки червячных передач: низкий кпд (0,5-0,8), необходимость применения высококачест­венных бронз для зубьев коле­са с целью уменьше­ния коэффициента трения, высокие требования к точности изготовления и сборки.

Элементами, определяющими работоспособность зубчатых и червячных передач, являются зубья колёс, поэтому основными критериями рабо­тоспособности передач явля­ют­ся контактная и изгибная прочность зубьев, а также их износо­стойкость. В зависимости от условий работы передачи приоритет присва­ивается одному из вышеназванных критериев.

При работе открытых передач наиболее вероятным является возникно­вение усталостных трещин у ножки зуба, где действуют максимальные изгибные напряжения _F (рис. 6.7). Ситуация здесь усугубляется изна­шива­нием зубьев, приводящим к уменьшению момента сопротивления опас­но­го сечения зуба у основания. Расчёт таких передач ведут по условию изгибной прочности зубьев, рассматриваемых как консольные балки. Максимальные изгибные напряжения в поперечном сечении у основания зуба не должны превышать допус­ка­емых. Для закрытых зубчатых и любых чер­вячных передач основным видом разрушения является контактное выкрашивание рабочих поверхностей зубьев, при котором под действием цик­ли­чески воздействующих контакт­ных напряжений с макси­маль­ным значением _Н образуются ямки и раковины. Поэтому усло­вием, используемым при расчёте и проекти­ровании закрытых передач, является условие контактной прочности зубьев:

_Н  [_Н] .



а)

б)

Допускаемые контактные напряжения [_Н] определяются раздельно для шестерни и колеса по формуле

[_Н] = 0,9 _{Н lim b} K_HL/ n_H ,

где _{Нlim b}-предел контактной выносливости поверхностных слоёв зубьев при базовом числе циклов нагружений, определяется в зависимости от твёрдости рабочих поверхностей по графикам или таблицам справочников; К_HL- коэффициент долговечности, учиты­ва­ющий влияние срока службы и режима работы передачи, принимается в пределах 1,0...2,4, для длительно работающих передач К_НL=1,0; n_H- коэффициент безопасности, значения которого принимаются в пределах 1,1...1,2.

Прочностной расчёт передач проводится в два этапа. На перовом этапе (проектном) определяют размеры передачи, на втором - проверяют зубья на контактную усталость и усталость при изгибе. Расчёты проводят по ГОСТ 21354-75 и некоторым реко­мендациям к нему. При проведении проектных расчётов получаемые значения округляют до ближайшего стандартного в сторону, соответствующую повышению запаса прочности.

Первым геометрическим параметром, определяемым непос­редст­­вен­но из условия контактной прочности при расчёте цилиндрических и червячных передач, является межосевое расстояние а_W, а при расчёте конических зубчатых передач – внеш­ний делительный диаметр колеса d_e2.

Для цилиндрических передач внешнего зацепления со стальными колёса­ми межосевое расстояние, мм,

3

а_W= (u+1) {А/ ( [_Н] u) }² T₂ K /­_ba ,

где А=310 для прямозубых передач, А=270 для косозубых передач, Т₂- момент на зубчатом колесе, Н мм, К- коэффициент нагрузки, факти­ческое значение которого определяется характером распре­деле­ния нагрузки между зубьями и по ширине венца, ударами и нерав­номерностью нагружения зубьев при работе передачи. На проектном этапе расчёта его значения принимают в пределах 1,1...1,5; u-передаточное число, _ba= b/a- коэф­фициент ширины зубчатого венца, _ba=0,25...0,63; для шевронных колёс _ba=0,4...0,8; b-ширина колеса. При прямых зубьях b< d₁, при косых зубьях b< 1,5 d₁, при шевронных зубьях b < 2,5 d₁.

Для стальных конических передач внешний делитель­ный диаметр колеса, мм,

3

d _e2= 2  (В_)² T₂ K u/ [ (1 - 0,5 _Re)² _Re] ,

где В= 335 для передач с прямыми зубьями, В= 270 для передач с круговыми зубьями, _Re= b/Re-коэффициент длины зуба коничес­кого колеса, принима­ется в пределах 0,25...0,3; Re- длина образу­ющей делительного конуса, мм.

Для червячных передач со стальным червяком и бронзовым или чугун­ным венцом червячного колеса межосевое расстояние, мм,

а

3

_W = 31 (z₂/q +1)  T₂ K q² /(_H² z₂²) ,

где q- коэффициент диаметра червяка (предварительно принимается значе­ние q= 10); z₂-число зубьев червячного колеса; К- коэффициент нагрузки, его зна­чения предварительно принимают в пределах 1,1...1,5. Значения _H при­ни­маются равным 70÷130 МПа для чугунных и 90÷250 МПа для бронзовых венцов.

После установления модуля и основных параметров зацеп­ления, произ­во­димого по стандартным формулам, определения ок­руж­ной скорости точек колёс, выбора степени точности передачи, уточнения значения коэф­фициента нагрузки производят проверку спроектированной передачи по условию контактной прочности. Необходимость такой проверки вызвана тем, что уточнённое значение коэффициента нагрузки, рассчиты­ваемое с учё­том опре­делённых размеров колёс и степени точности передачи, может су­щест­венно отличаться от предварительно принятого. Кроме того, округ­ление значений конструктивных параметров до целых или стандарт­ных величин также приводит к изменению действительных контактных напря­жений, которые могут превысить величину допускаемых. Проверку произ­во­дят по следующим формулам:

- для цилиндрических стальных колёс

_Н = A / u  T₂K (u+1)³/(a_W³ _ba)  [_Н] ;

- для стальных кони­чес­ких колёс

_H = B/(Re- 0,5 b) T₂K(u²+1)^1,5/(bu)  [_H] .

Кроме проверки спроектированной передачи по условию контактной прочности зубьев их проверяют на усталость при изгибе. Условие проч­ности зубьев на изгиб имеет обычный вид

_F  [_F] ,

где _F- максимальное напряжение в опасном сечении зуба -у его основания (рис.6.7), [_F] - допускаемые напряжения при изгибе, определяются раз­дельно для шестерни и колеса по формуле

[_F] = _{F lim b} K_FL K_FC / n_F ,

где _{F lim b}-предел выносливости материала зубьев при изгибе, выбирается по таблицам справочников в зависимости от материала детали и его термообработки, К_FL- коэффициент долговечности, принимается в пределах 1,0...1,6, для длительно работающих передач К_FL= 1,0, n_F- коэффициент безопасности, принимается в пределах 1,7...2,2; К_FC- коэффициент, учиты­вающий влияние двухстороннего прило­же­ния нагрузки. При односторон­ней нагрузке К_FC=1,0; при реверсивной нагрузке К_FC= 0,7...0,8.

Расчёт изгибных напряжений ведут по следующим формулам.

Для цилиндрических передач

_F = 2 Y_F Y_ T K_F /(z b m²) ,

где Y_F- коэффициент формы зуба, определяют по таблице в зависимости от числа зубьев рассчитываемого колеса (для косозубых колёс - в зависимости от эквивалентного числа зубьев z_v = z/cos³, -угол наклона зубьев), Y_-ко­эф­фициент, учитывающий наклон зубьев, для прямозубых колёс равен 1,0, для косозубых 0,7; Т- вращающий момент на рассчитываемом колесе, Н мм, b-ширина колеса, мм; m-модуль зацепления, мм; К_F- коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями, по ширине венца, степень динамичности нагрузки, определяется расчётным путём с помощью таблиц справочников. Проверку на прочность при изгибе производят для зубьев того из колёс, у которого отношение [_F]/Y_F меньше.

Для передач с коническими зубчатыми колёсами

_{F =} 2,36 Y_F Y_ T K_F /(z b m²) ,

где значения Y_F для прямозубых колёс определяются в зависимости от эквивалентного числа зубьев z_v=z/cos (-угол при начальном конусе колеса), а для колёс с круговыми зубьями - в зависимости от числа зубьев z_v=z /cos cos³_п биэквивалентного колеса. Здесь _п -угол наклона кругового зуба в середине ширины зубчатого венца. Обычно принимают _п=35.

Напряжение в зубьях червячного колеса при изгибе и условие прочности

_F = 1,2 Y_F T₂ K /(z₂ b₂ m²)  _F] ,

где Т₂-момент на червячном колесе, Н мм, К- коэффициент нагрузки, определяется расчётным путём с помощью таблиц справочников, Y_F- коэффициент формы зуба, определяется по эквивалентному числу зубьев z_v=z₂/cos³, где -угол подъёма линии витка червяка; z₂-число зубьев червячного колеса; b₂-ширина венца червячного колеса, мм; m- расчётный модуль, мм.

Р

3

азмеры зубчатых колёс в открытых передачах определяют из условия прочности зубьев на изгиб. Непосредственно из этого условия определяется модуль зацепления. Для цилиндрических передач он равен

m = 2 T K Y_F  ‘ cos/(z[_F]_m k_пF) ,

где Т- передаваемый момент на валу того из колёс, для которого величина отношения [_F]/Y_F меньше, Н мм;  ‘- коэффициент, учитывающий умень­ше­ние момента сопротивления опасного сечения зуба из-за изнашивания,  ‘= =1,25...1,5; z-число зубьев колеса, зубья которого рассчитываются на изгиб; Y_F- коэффициент формы зуба; _m=b/m (для косозубых передач _m=b/m_n) -коэффициент ширины зуба по модулю, _m=6...12 для прямозубых колёс, _m=15...20 для косозубых колёс, b-ширина зуба, мм, k_пF=1 для прямозубых колёс и k_пF = 1,2...1,4 для косозубых колёс. Полученные значения m или m_n округляют до ближайшего стандартного.

Модуль конических передач рассчитывается по формуле

m

3

= 2,36 T K Y_F  ‘ cos/(z[_F]_m k_пF) ,

где _m=b/mz₁ /5 sin ₁.

После определения модуля производят расчёт всех остальных геомет­ри­ческих параметров передачи. Проверка на контактную прочность зубьев открытых передач не производится.

Кроме расчётов на усталостную прочность, необходима проверка зубьев колёс на статическую прочность при пиковых нагрузках (кратковременных перегрузках). Проверку рабочих поверхностей зубьев при этом выполняют по формуле

 _Нmax = _Н Т_max/ T  _H] ,

где _Н и _Нmax - контактные напряжения при действии номинального и пикового моментов Т и Т_max соответственно на валу шестерни или зубчатого колеса.

Проверку зубьев на изгиб производят по формуле

_Fmax = _F Т_max/ T  _F] ,

где обозначения аналогичны. Если данных о пиковых нагрузках нет, то расчёт по предельным напряжениям не производят.

Возникающая в зубчатом или червячном зацеплении сила взаимодейст­вия с сопряжён­ным колесом направлена по линии зацепления, как по общей нормали к рабочим поверхностям контактирующих зубьев. Момент этой силы относительно оси вала равен действующему вращающему моменту Т. Для удобства расчётов силу взаимодействия раскладывают на состав­ляющие. Этими составляющими являются:

- для прямозубой и шевронной цилиндрических передач - окружная F_t и радиальная F_r силы. Первая направлена по касательной к начальной ок­руж­ности колеса, вторая - от точки зацепления по радиусу колеса к центру (рис. 6.8, а) : F_t=2T/d; F_r = F_t tg - для прямозубой, F_r=F_t tg/cos - для шевронной передачи, где  - угол зацепления, для некорреги­ро­ванных колёс прини­ма­ют равным 20, d- диаметр делительной окружности колеса;

- для косозубой цилиндрической передачи - окружная F_t , осевая F_a , нап­рав­ленная от точки зацепления параллельно оси вала и радиальная F_r силы (рис. 6.8, б) : F_t=2T/d; F_r=F_t tg/cos; F_a=F_t tg, где - угол наклона зубьев;

Рис. 6.8. Составляющие сил, возникающих в зубчатых (а, б, в) и червячном (г) зацеплениях

- для конической зубчатой передачи - окружная F_t, радиальная F_r и осевая F_a силы (рис. 6.8, в) : F_t= 2T/d; F_r1=F_a2=F_t tg cos₁; F_r2=F_a1=F_t tg cos₂ ,где d- средний делительный диаметр зубчатого колеса; ₁, ₂ - углы при начальных конусах конической передачи. Для ортогональных передач (₁+₂=90) tg ₁=1/u=z₁/ z₂ ; tg₂= u = z₂/ z₁ , где u - передаточное число передачи, z₁, z₂ -числа зубьев колёс;

- для червячных передач -окружная сила F_t, осевая F_a и радиальная F_r силы (рис.6.8, г) : F_t1 =F_a2=2T₁/d₁, F_{t 2}=F_a1=2T₂/d₂ , F_r1=F_r2= F_{t 2} tg .