Решение задачи из раздела II «Оптимизация»
Задача. Фирма производит три вида продукции (A, B, C), для выпуска каждого требуется определенное время обработки на всех четырех устройствах I, II, III, IV. Пусть время работы устройств соответственно p q r s часа. Определите, какую продукцию и в каких количествах стоит производить для максимизации прибыли. Рынок сбыта для каждого продукта неограничен.
Ход решения
Указанная задача является задачей линейной оптимизации. В табличном процессоре Ms. Excel имеется надстройка «Поиск решения», которая позволяет решать задачи нахождения наибольших и наименьших значений.
1 Этап. Составление математической модели.
Нам дано:
Вид продукции |
Время обработки, ч |
Прибыль, долл |
||||
I |
II |
III |
IV |
|||
A |
3,5 |
8,5 |
2,9 |
6,2 |
3,4 |
|
B |
4,4 |
2,8 |
2,2 |
3,6 |
9,9 |
|
C |
6,1 |
5,7 |
0,4 |
1 |
4,7 |
|
Время работы устройств |
I |
II |
III |
IV |
Итого, час |
|
27,1 |
34,4 |
91,2 |
29,4 |
0 |
||
Пусть Х – количество изделий модели А, Y – количество изделий модели B, Z - количество изделий модели C. Тогда прибыль от этих изделий равна 3,4 Х +9,9 Y +4,7 Z долл. Эту прибыль нужно максимизировать.
Функция, для которой ищется экстремум (макс или мин), носит название целевой функции. Следовательно, 3,4 Х +9,9 Y +4,7 Z – это целевая функция рассматриваемой задачи.
Беспредельному увеличению количества изделий ничего не препятствует (т.к. в условии сказано, что рынок сбыта для каждого продукта неограничен), однако, производство изделий ограничено определенным временем обработки на каждое изделие.
Ограничения задачи:
3,4 Х +9,9 Y +4,7 Z max
3,5 Х +4,4 Y +6,1 Z < 27,1
8,5 Х +2,8 Y +5,7 Z < 34,4
2,9 Х +2,2 Y +0,4 Z < 91,2
3,5 Х +4,4 Y +6,1 Z < 29,4
Ограничения по суммарному числу в часах обработки каждого вида продукции:
Для продукции типа Х это 3,5 + 8,5 + 2,9 + 6,2=21,1
Для продукции типа Y это 4,4 + 2,8 + 2,2 + 3,6=13
Для продукции типа Z это 6,1 + 5,7 + 0,4 + 1=13,2
21,1 X +13 Y + 13,2 Z < 182,1
Х > 0
Y > 0
Z > 0
2 Этап. Решение задачи средствами табличного процессора Ms. Excel
Запустим табличный процессор Ms.Excel.
Введем известные значения как указано на рис.1
Рис.1
Введем формулы для расчета Целевой функции, ограничения как указано на рис. 2
Рис. 2
Воспользуемся пакетом анализа средством Поиск решения как указано на рис. 3.
Рис. 3
Прочтем сообщение результата окна Поиск решения
Задача оптимизации решена. Решение найдено. Результаты решения отражены в таблице на рис. 4:
Решение задачи из раздела III «Регрессия»
Задача. Данные о выпуске продукции за 1 половину сентября X - день, Y – выпуск продукции в шт. приведены в таблице.
Найти коэффициенты a, b в зависимости Y от X вдоль прямой f(X)=aX+b, методом наименьших квадратов, чтобы значения f наилучшим образом приближали значения Y. Построить диаграмму с исходными данными и приближающим их линейным графиком.
Ход решения
Запустим табличный процессор Ms.Excel.
Введем значения данных в ячейки как указано на рис.1.
Рис.1
В столбце С рассчитаем значение f(X)=aX+b. Для этого в ячейку С7 введем формулу
методом автозаполнения по столбцу.В столбце D рассчитаем остатки. Для этого в ячейку D7 введем формулу
методом автозаполнения по столбцу.В ячейке D19 подсчитаем сумму квадратов остатков. Для этого в ячейку D19 введем формулу
.Далее решим задачу оптимизации. Целевая функция – ячейка D19, которую следует минимизировать путем изменений а и b без ограничений. Решение задачи оптимизации на рис. 2. Целевая ячейка D19 стремится к минимуму. Изменяемые ячейки а и b. Изменяемые ячейки B19,B20 (коэффициенты а b). Ограничений нет.
Рис.2
Функция прямой будет иметь вид:
f(X)=aX+b=30,28X+1448,4
Построим диаграмму с исходными данными и приближающим их линейным графиком f(X)=aX+b
ДИАГРАММА
