24) Оптимальная фильтрация случайных сигналов
Фазочастотная характеристика фильтра
нулевая
,
следовательно, нет задержки по времени
и сохраняются фазовые соотношения,
имевшиеся во входном сигнале.
В области частот, где полезный сигнал
намного сильнее шума, имеем коэффициент
передачи
.
Там же, где сигнал слабый, коэффициент
передачи
.
Если на какой-либо частоте спектральные
плотности мощности сигнала и шума
одинаковы
,
то коэффициент передачи на этой частоте
равен 0,5.
Таким образом, оптимальный фильтр пропускает те частоты, на которых сигнал сильнее шума, и подавляет те, где он слабее.
Отсутствие фазовых сдвигов обеспечивает лучшее сохранение формы полезного сигнала.
.
Определим, чему равна дисперсия ошибки воспроизведения полезного сигнала для оптимального фильтра. Подставив (3) в (2), получим спектральную плотность мощности сигнала ошибки:
.
Дисперсия, равная значению корреляционной
функции при
,
может быть рассчитана с помощью теоремы
Винера-Хинчина:
. (4)
Пусть полезный случайный сигнал имеет спектральную плотность мощности вида
,
где
и
,
а шум является белым и имеет спектральную
плотность мощности
(рис. 1, а).
Найдем характеристики оптимального фильтра и рассчитаем дисперсию ошибки воспроизведения полезного сигнала.