Характеристики математичних моделей

До основних характеристик математичних моделей (ММ) належать:

• ступінь універсальності моделі; • точність моделі; • адекватність моделі;

• економічність моделі.

Ступінь універсальності ММ характеризує повноту відбиття у моделі властивостей реального об'єкта; кількісно ступінь універсальності може бути описаний співвідношенням потужності множини відбитих властивостей до множини наявних властивостей системи.

Враховуючи постулат модельованості, будь-яка ММ відбиває лишень певні властивості модельованої системи. Так, більшість ММ, що розробляються під час функціонального проектування РЕЗ, відбивають фізичні чи інформаційні процеси в об'єкті проектування (ОІІ); при цьому не вимагається, щоб ММ містила відомості про такі властивості ОІІ, як геометрична форма його складових елементів. Наприклад, ММ резистора у вигляді закону Ома характеризує його властивість пропускати електричний струм, але не відбиває габаритів резистора, його кольору, механічної міцності тощо.

Точність ММ оцінюється за збіжністю значень параметрів реального об'єкта і значень тих же параметрів, отриманих за допомогою побудованої моделі; ступінь збіжності розраховують через відхилення є цих параметрів.

Нехай властивості ОП, що відбиваються в ММ, оцінюються вектором вихідних параметрів

У = (у₁ у₂, ут). Тоді, позначивши дійсне і розраховане на ММ значення j-го вихідного параметра відповідно як уj_д та уj_м, відносну похибку εj, розрахунку параметра уj можна визначити за формулою:

εj= (уj_м-уj_д)/уj_д

Отримана оцінка точності буде векторною: ε_j =(ε_j1,ε_j2,…ε_jт). За необхідності зведення цієї оцінки до скалярної використовують довільну норму вектора ε_j , наприклад, ε_{j тах}.

Лекция 5 тсс 5

Адекватність ММ - це її здатність відбивати задані властивості об'єкта з похибкою не більше заданої. Оскільки вихідні параметри є функціями зовнішніх параметрів Q і внутрішніх параметрів X, то похибка ε_j залежить від значень Q та X. Переважно значення внутрішніх параметрів ММ а priori визначають з умови мінімізації похибки ε_{j тах} в деякій точці Q_НOM простору зовнішніх змінних, а застосовують модель з розрахованим вектором X для різних значень Q. При цьому адекватність моделі переважно спостерігається виключно в обмеженій області зміни зовнішніх параметрів, яка називається областю адекватності (ОА) MM. ОА моделі визначається як

ОА= {Q| ε_{j тах} ≤δ}

де δ= соnst >0 - задана граничнодопустима похибка моделі.

Для коректної оцінки точності і адекватності моделі при їх розрахунку повинні використовуватися значення уj_д, які не застосовувалися під час розрахунку внутрішніх параметрів моделі. При цьому для користувача більш цінними є не відомості про оцінку точності моделі в двох-трьох випадкових точках простору зовнішніх параметрів, а дані про область адекватності. Однак визначення ОА потребує великих витрат обчислювального часу. Тому розрахунок ОА в повному обсязі виконують лишень при відпрацюванні ММ уніфікованих елементів, призначених для багаторазового використання. В решті випадків використовують наближені оцінки ОА, які отримали назву апроксимацій ОА і позначаються ОАА.

Відомості про ОАА надаються у вигляді діапазонів зміни складових вектору зовнішніх параметрів, в межах яких модель є адекватною (тобто збігається з оригіналом з точністю не гірше за δ):

Економічність ММ характеризується витратами обчислювальних ресурсів (машинного часу Тм і пам'яті Пм) на її реалізацію. Чим вони менше, тим модель економічніша. Замість значень Тм і Пм, які визначаються не лише властивостями моделі, а й специфікою використовуваної ЕОМ, для характеристики економічності моделі часом застосовують інші параметри, зокрема: середню кількість операцій N, яка виконується під час одного звертання до моделі ; розмірність системи рівнянь, кількість внутрішніх параметрів у моделі тощо.