Лекция 5 тсс 1

Математичні моделі і моделювання

Моделирование — метод научного исследования явлений, процессов, объектов, устройств или систем (обобщенно – объектов исследований), основанный на построении и изучении моделей с целью получения новых знаний, совершенствования характеристик объектов исследований или управления ими.

Модель — материальный объект или образ (мысленный или условный: гипотеза, идея, абстракция, изображение, описание, схема, формула, чертеж, план, карта, блок-схема алгоритма, ноты и т.п.), которые упрощенно отображают самые существенные свойства объекта исследования.

Любая модель всегда проще реального объекта и отображает лишь часть его самых существенных черт, основных элементов и связей. По этой причине для одного объекта исследования существует множество различных моделей. Вид модели зависит от выбранной цели моделирования. Потребность в создании и использовании моделей связана с тем, что исследовать многие реальные явления и объекты сложно или дорого, а порой вовсе невозможно. Например,

Математическую модель сложной системы можно представить как функциональный оператор Ф, преобразующий пространство вектора входных , внутрисистемных параметров процесса и управляющих переменных в выходные параметры .

В ид модели и степень ее детализации определяется не только свойствами моделируемого объекта, но и целью, с которой выполняется моделирование. Поэтому процесс разработки модели сложной системы состоит в последовательном анализе и моделировании отдельных ее подсистем с последующим установлением связей между этими подсистемами.

1. Створення математичної моделі

Математична модель - це наближений опис довільного класу явищ зовнішнього світу, представлений за допомогою математичної символіки. Математичне моделювання (ММ ) виступає як метод пізнання зовнішнього світу, а також прогнозування і управління. Аналіз ММ дозволяє проникнути в сутність досліджуваних явищ. ММ проходить такі етапи (рис. 2):

• постановка задачі, тобто прийняття рішення про необхідність моделювання і його мету. На цьому етапі слід чітко визначити і сформулювати мету досліджень. З мети досліджень випливатиме сукупність властивостей об'єкта моделювання, які підлягатимуть відбиттю у моделі;

• побудова математичної моделі;

• дослідження системи на моделі і прогнозування й управління оригіна­лом за результатами цих досліджень.

Побудова ММ, тобто вивчення явища за допомогою ММ, можна умовно розбити на 4 етапи (рис. 2): етап змістовного опису; етап формалізації опису; етап остаточної побудови моделі (ідентифікації параметрів і перевірки адекватності моделі); етап перегляду і вдосконалення моделі за результатами узагальнення емпірично накопичених даних .

1 етап - це формулювання законів, що пов'язують між собою об'єкти моделі. На цьому етапі визначаються об'єкти моделі і накопичуються факти, що стосуються досліджуваних явищ і дозволяють виявити їх взаємозв'язки. Цей етап закінчується записом в математичних термінах сформульованих якісних представлень про зв'язки між об'єктами моделі з вказанням граничних умов. Визначення об'єктів моделі і їх взаємозв'язків є вихідними положеннями ("аксіомами") гіпотетичної моделі, тому можна сказати, що на етапі змістовного опису формується аксіоматика моделі і синтезується її структура; остання може бути представлена як описово-аналітично, у вигляді опису зв'язків, так і гра­фічно;

2 етап - це етап формалізації, суть якого - виявлення математичних співвідношень, що характеризують оригінал з точки зору мети моде­лювання, аксіоматики моделі. Ці співвідношення розробляються на основі матеріальних та енергетичних балансів, фізики процесів. На цьому етапі визначається форма представлення математичної моделі і проводиться дослідження математичних задач, які випливають з математичних моделей. Серед них основним є розв'язання прямої задачі, тобто отримання в результаті аналізу моделі вихідних даних (у вигляді теоретичних наслідків) для подальшого їх зіставлення з результатами спостережень досліджуваних явищ. На цьому етапі важливого значення набувають математичний апарат, необхідний для аналізу математичної моделі, і обчислювальна техніка як засіб отримання кількісної вихідної інформації в результаті розв'язання складних математичних задач. Часто математичні задачі, що вини­кають на базі різних математичних моделей, бувають однаковими (наприклад, основна задача лінійного програмування відбиває ситуації, різноманітні за природою). Це дає підставу розглядати такі типові математичні задачі як самостійний об'єкт, абстрагуючись від конкретних явищ, що вивчаються;

3 етап - виявлення того, чи задовольняє прийнята (гіпотетична) модель критерій практики, тобто виявлення того, чи узгоджуються результати спостережень з теоретичними наслідками моделі в межах точності спостережень. Якщо модель була повністю визначена, тобто всі її параметри були задані, то виявлення відхилень теоретичних наслідків від результатів спостережень дає розв'язок прямої задачі з наступною оцінкою відхилень. Якщо відхилення виходять за межі точності спостережень, то модель не може бути прийнята і потребує коригування. Досить часто при побудові моделі деякі її характеристики лишаються невизначеними. Задачі, в яких визначаються характеристики моделі (параметричні, функціональні) таким чином, щоб вихідна інформація в межах точності спостережень піддавалася б зіставленню з результатами спостережень досліджуваних явищ, називаються зворотними задачами (зворотні задачі – це задачі ідентифікації параметрів моделі). Якщо ММ є такою, що при жодному наборі характеристик ці умови неможливо задовольнити, то модель є непридатною для дослідження явищ, що розглядаються. Застосування критерію практики до оцінки ММ дозволяє робити висновок про вірність положень, що лежать в основі гіпотетичної моделі, що вивченню. Цей метод є єдино можливим для вивчення безпосередньо недоступних нам явищ макро - і мікросвіту;

4 етап - наступний аналіз моделі в процесі накопичений даних про досліджувані явища і модернізація моделі. В ході розвитку науки та техніки дані про об'єктивні явища уточнюються і доповнюються, і надходить момент, коли висновки, що отримують ся на основі прийнятої моделі, не відповідають нашим знанням про явище. Таким чином, виникає потреба в побудові нової, більш досконалої моделі Типовим прикладом, що ілюструє характерні етапи в побудові ММ, є модель Сонячної системи.