57. Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность ограничена сверху (снизу), если множество ограничено сверху (снизу). Последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничен любой ее остаток.

58. Монотоннве последовательности

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. . Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. . Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными;

59. Предел числовой последовательности.(нету) Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. (о представлении суммы в виде суммы своего предела и бесконечно малой функции). lim _х→af(x) = A тогда и только тогда, когда f(x) = A + α(x), где α(x) – бесконечно малая функция при х→a.

Теорема 2. (о пределах суммы, произведения и частного). Если функция f(x) u g(x) определены в некоторой окрестности точки а, возможно, за исключением самой точки а, и существуют пределы lim _х→af(x), lim _х→ag(x), то существуют пределы и суммы lim _х→a(f(x) + g(x)), произведения lim _х→a(f(x)g(x)) и, если g(x) ≠ 0, то и частного lim_x→xf(x)/g(x) и имеют место равенства

1. lim_x→a(f(x) + g(x)) = lim_x→af(x) + lim_x→ag(x);

2. lim_x→a(f(x)g(x)) = lim_x→af(x) * lim_x→ag(x);

3. lim_x→af(x)/g(x) = l im_x→af(x)/lim_x→ag(x), при g(x) ≠ 0 u lim_x→ag(x) ≠ 0.

Следствия:

1. постоянный множитель может быть вынесен из-под знака предела.

lim_x→acf(x) = lim_x→ac lim_x→af(x) = c lim_x→af(x)

2. предел разности равен степени пределов

lim_x→a (f(x) - g(x)) = lim_x→a(f(x) + (-1)g(x)) = lim_x→af(x) + lim_x→a(-1)g(x) = lim_x→af(x) + (-1)lim_x→ag(x) = lim_x→af(x) - lim_x→ag(x)

3. предел степени равенстепени предела

если показатель степени n€N, то lim_x→a(f(x))ⁿ = lim_x→af₁(x) * f₂(x) * …… * f_n(x) = lim_x→af₁(x) * lim_x→af₂(x) * …. * lim_x→af_n(x) = (lim_x→af(x))ⁿ

Теорема 3 (о пределах промежуточной функции). Если lim_x→af(x) = A, lim_x→af(x0 = A и в некоторой окрестности точка а (быть может, кроме точки а) имеют место неравенства f(x) ≤ ф ≤ g(x), To lim_x→aф(x)=A.

60. Функция. Способы задания функции

Соответствие, которое каждому элементу х из Х сопоставляет один и только один элемент у из У, называется функцией, определённой на множестве Х со значением У.

Способы задания функции.

Существуют аналитический, графический, табличный и др. способы задания функции.

При аналитическом способе зависимость между переменными определяется формулами. Если при этом множество не указано, то считают, что функция задана в естественной области определения, т.е. на таком множестве, где эти формулы имеют смысл.

При графическом способе задания функции зависимость между переменными отражается с помощью графика. Графиком функции на плоскости называется геометрическое место точек , координаты которых связаны функциональной зависимостью.

При табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции. Таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно при решении интерполяционной задачи. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить интерполяционную формулу, и притом не одну (например, многочлен Лагранжа), которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции.