2. Математичні моделі та їх класифікація

Математична модель - — це наближений опис об'єкта за допомогою мате­матичної символіки.

Математична модель — це функціональна залежність між характеристиками досліджуваного об'єкта, виражена у вигляді формули чи алгоритму.

Наприклад, математичною моделлю ідеального газу є формула (рівняння Клайперона) , яка виражає залежність між тиском Р, об'ємом V, який займає цей газ. і температурою Т.

Математичні моделі є потужним засобом пізнання людиною оточуючого світу. Наука створила величезну кількість найрізноманітніших математичних моделей. їх можна систематизувати (класифікувати) за різними ознаками.

1. Класифікація за галуззями наук: математичні моделі у фізиці, біології, соціології.

2. Класифікація за математичним апаратом: моделі, засновані на застосуванні звичайних диференціальних рівнянь, диференціальних рівнянь у часткових похідних, стохастичних методів, дискретних алгебраїчних перетворень і т.д. Це класифікація математика, що займається апаратом математичного моделювання.

3. Класифікація за метою (цілями) моделювання.

3.1. Дескриптивні моделі (від латинського descriptius — опис) — це моделі для опису різних процесів, об'єктів. Наприклад, закони класичної фізики Ньютона подаються описовими математичними моделями (F = ma, і т.д.)

3.2. Оптимізаційні моделі. Це моделі для управління об'єктами і прийняття рішень.

Наприклад, змінюючи тепловий режим в зерносховищі, ми можемо підібрати його так, щоб досягнути максимального збереження зерна, тобто оптимізувати процес.

3.3 Багатокритеріальні моделі. Це моделі для розв'язання задач, в яких не одна, а декілька цільових функцій.

Наприклад, знаючи ціни на продукти і потребу людини в їжі, треба організувати харчування великих груп людей (в армії, будинку відпочинку і т.д.) як можна більш корисно і більш дешево. Ясно, що ці цілі зовсім не співпадають, тобто при моделюванні буде декілька критеріїв, між якими треба шукати баланс.

3.4. Ігрові моделі. Це моделі для опису і дослідження так званих конфліктних ситуацій, в яких різні учасники мають інтереси, що не співпадають між собою.

Наприклад, два воєначальники перед боєм в умовах наявності непевної інформації про протидіючі армії повинні розробити план: в якому порядку вводити в бій ті чи інші частини і т.д., враховуючи і можливу реакцію противника.

3.5. Імітаційні моделі. Це моделі для дослідження складних систем. Тут процес функціонування складної системи подається у вигляді певного алгоритму, який реалізується на комп'ютері.

Імітаційні моделі широко використовуються в сучасній фізиці, зокрема, для дослідження термоядерних процесів.

Властивості математичних моделей

1) Математична модель повинна бути адекватною (відповідною) досліджуваному об'єкту з точки зору тих властивостей (характеристик), які цікавлять дослідника.

2) Математична модель не визначається однозначно досліджуваним об'єктом.

3) Математична модель лише наближено описує досліджуваний об'єкт. Для одного і того ж об'єкта можна побудувати різні математичні моделі з різним ступенем наближення.

4) Математична модель універсальна в тому розумінні, що одну і ту ж математичну модель можна використовувати для досліджень в різних галузях людської діяльності.