Лабораторная работа №7. Моделирование взаимосвязей по временным рядам

Элементы теории.

Предварительный этап такого моделирования заключается в выявлении структуры изучаемых временных рядов. Если на этом этапе было выявлено, что временные ряды содержат сезонные или циклические колебания, то перед приведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней каждого ряда, поскольку ее наличие приведет к искажению истинных показателей силы и тесноты связи изучаемых временных рядов. Устранение сезонной или циклической компонент из уровней временных рядов можно проводить в соответствии с алгоритмом построения аддитивной и мультипликативной моделей, рассмотренным в лабораторной работе №6. При дальнейшем изложении методов анализа взаимосвязей в этой лабораторной работе мы примем предположение, что изучаемые временные ряды не содержат периодических колебаний.

Для того, чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно-следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так называемой «ложной корреляции», вызванной наличием тенденции в каждом ряде.

Для устранения тенденции обычно применяется следующие методы:

• последовательных разностей;

• отклонений от тренда;

• включение в модель регрессии фактора времени.

Пример №10

Имеются данные об урожайности пшеницы (Y_t – урожайность пшеницы в центнерах с 1 га) относительно использования минеральных удобрений (X_t – минеральные удобрения в кг чистого компонента) в Воронежской области за 1995-2004 гг. (Рис.1.23.).

Требуется:

С помощью метода последовательных (первых) разностей оценить структурные параметры модели.

Решение

Результаты проверки временных рядов на автокорреляцию приведены в последней строке рис.1.23.

Рис.1.23.

Исходные переменные модели преобразуются, в частности, рассчитываются их первые разности:

ΔY_t = Y_t-Y_t-1, ΔX_t = X_t-X_t-1

Поскольку полученные ряды не содержат автокорреляции, будем использовать их вместо исходных данных. Коэффициент корреляции рядов по первым разностям составляет 0,82. Это подтверждает вывод о наличии тесной прямой связи между урожайностью пшеницы и использованием минеральных удобрений.

С помощью классического МНК оцениваем параметры модели ΔY=β₀+ β₁ΔX, для этого Сервис→→ Анализ данных →→ Регрессия.

Результаты расчетов приведены на рис.1.24. и свидетельствуют о существенности параметров регрессии, а также о достоверности и значимости уравнения в целом. Таким образом, уравнение регрессии примет вид:

ΔY=0,09+ 0,75ΔX

Экономическая интерпретация полученной модели состоит в том, что при увеличении количества внесенных удобрений на 1 кг чистого компонента прирост урожайности пшеницы увеличится на 0,75 центнеров с гектара.

Рис.1.24.

Пример №11

Имеются данные о совокупном доходе семьи в месяц (X, тыс. руб.) и расходах на товары первой необходимости (Y, тыс. руб.). Исходные данные за 12 месяцев представлены в табл.15.

Требуется:

С помощью метода отклонений от тренда оценить структурные параметры модели взаимосвязи Y с X.

Таблица 15

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Расходы на товары первой необходимости, Y	5	5,5	7	8	8,3	9	11	12	13	14	14,5	17
Совокупный доход семьи в месяц, X	8,5	8,8	11	11,8	12,2	13	15,5	16,5	18	19	20	22

Корреляционно-регрессионный анализ, проведенный по исходным данным рядов, приводит к следующим результатам:

Y^’ = -2,17 + 0,85*X, R² = 0,99, r_yx = 0,99, r^y₁= 0,98, r^x₁ = 0,98,

где R² – коэффициент детерминации;

r_yx - коэффициент парной корреляции;

r^y₁, r^x₁ – коэффициенты автокорреляции первого порядка.

Очевидно (рис.1.25), что полученные результаты содержат ложную корреляцию ввиду наличия в каждом из рядов линейной тенденции.

Рис.1.25.

По трендам Y^’= 3,54 + 1,05*t и X^’= 6,70 + 1,23*t определим расчетные значения и отклонения от трендов Y-Y^’, X-X^’ (рис.1.26.).

Рис.1.26.

Значения коэффициентов автокорреляции приведены в строке 15 рис.1.26. Следовательно, временные ряды отклонений от трендов можно использовать для получения количественной характеристики тесноты связи исходных временных рядов. Коэффициент корреляции по отклонениям от трендов равен 0,899.

Результаты построения модели регрессии по отклонения от трендов представлены на рис.1.27.

То есть уравнение имеет вид Z_y= -0,004 + 0,821*Z_x ,

где Z_y= Y-Y^’, Z_x= X-X^’.

Содержательная интерпретация параметров этой модели затруднительна. Так, параметр β₁=0,821 показывает, что на 0,821 в среднем за период отклонилось значение Y от тренда при отклонении X от своего тренда на 1 единицу измерения.

Однако данное уравнение регрессии можно использовать для прогнозирования. Для этого необходимо определить трендовое значение факторного признака X^’ и оценить величину предполагаемого отклонения фактического значения X от трендового. Далее определяем по уравнению тренда Y значение Y^’. По уравнению регрессии отклонений от трендов находим величину Z_yt . Затем делаем точечный прогноз Y_t+1=Y_t^’+Z_yt.

Рис.1.27.

Таким образом, для рассматриваемого примера

Y₁₃=Y^’₁₂ + Z_y12.

1. Y^’₁₂=3,54 + 1,05* t = 3,54 + 1,05* 12 = 16,14

2. X^’₁₂=6,70 + 1.23 *12 = 21,46

Z_X12 = X₁₂ – X^’₁₂ = 22 – 21.46 = 0,54

Z_Y12 = -0,004 + 0,821*Z_X12 = -0,004 + 0,821*0,54 = 0,44

3. Y₁₃ = = 16,14 + 0,44 = 16,58