Лабораторная работа №5. Построение автокорреляционной функции и коррелограммы.

Элементы теории.

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

где

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

где

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Пример №7

Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ.

Таблица 9

Год	Квартал		Количество возбужденных дел,
2001	I	1	375
	II	2	371
	III	3	869
	IV	4	1015
2002	I	5	357
	II	6	471
	III	7	992
	IV	8	1020
2003	I	9	390
	II	10	355
	III	11	992
	IV	12	905
2004	I	13	461
	II	14	454
	III	15	920
	IV	16	927

Требуется:

Рассчитать автокорреляционную функцию и выявить структуру временного ряда.

Решение

Представим эти значения на графике (рис. 1.15). Для этого воспользуемся режимом работы Диаграмма из меню Вставка. Выберем тип диаграммы-точечная, на которой значения соединены отрезками. В формате области построения укажем тип заливки-обычная; рамка-невидимая.

Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру.

Перед расчетом коэффициентов автокорреляции уровней ряда выполним инициализацию исходных данных (рис.1.16.).

Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Чтобы облегчить ввод формул, можно воспользоваться функциями Excel.

Работать со статистическими функциями Excel, как, впрочем, и с функциями из других категорий, удобнее всего с помощью мастера функций. При работе с мастером функций необходимо сначала выбрать саму функцию, а затем задать ее отдельные аргументы. Запустить мастер функций можно командой Функции из меню Вставка, или щелчком по кнопке вызова Мастер Функций, или активизацией комбинации клавиш Shift+F3.

Рис.1.15.

Рис.1.16.

Когда функция является единичным объектом в ячейке рабочего листа, она начинается со знака (=), далее следует название функции, а затем - аргументы функции, заключенные в скобки.

Определим коэффициент автокорреляции первого порядка. Для этого:

Поместим курсор в ячейку С19, произойдет выделение ячейки;

Поместить курсор на кнопку Мастер Функций, расположенную на панели инструментов;

Рис.1.17.

На экране появится диалоговое окно Мастер функций шаг 1 из 2. В окне категории выбрать категорию Статистические, в окне функции выбрать строку КОРРЕЛ (рис.1.17);

В окне Аргументы функции (рис.1.18.) ввести требуемые массивы;

Получили в ячейке С19 значение коэффициент автокорреляции первого порядка.

Рис.1.18.

Рис.1.19.

Продолжим расчеты аналогичным образом, получим автокорреляционную функцию ряда. Ее значения приведены в ячейках С19:К19 (рис.1.18.), коррелограмма изображена на рис. 1.19. Анализ коррелограммы и графика фактических уровней позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде циклических колебаний периодичностью в четыре квартала.