Лабораторная работа №4. Проверка однородности данных. Уравнение регрессии с фиктивными переменными.

1. Проверка однородности данных. Тест Г.Чоу.

Пример №5

Рассмотрим полученную в лабораторной работе № 2 (рис.1.7.) зависимость оборота розничной торговли (Y, млрд. руб.) от ряда факторов: X₁ – денежные доходы населения, млрд. руб.; X₂ – доля доходов, используемая на покупку товаров и оплату услуг, млрд. руб.; X₃ – уровень инфляции за последний год, %.

Известно, что первая выборка значений переменных объемом n₁=12 получена при одних условиях, а другая, объемом n₂=12, - при несколько измененных условиях.

Требуется:

Проверить гипотезу Н_о о совпадении уравнений регрессии для двух выборок. Можно ли объединить две выборки в одну и рассматривать единую модель регрессии?

Решение

В соответствии со схемой теста построим уравнение регрессии по первым n₁=12 наблюдениям. Для этого Сервис→→ Анализ данных →→ Регрессия. Результаты дисперсионного анализа представлены в табл.6.

Таблица 6

	Дисперсионный анализ
	df	SS1	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	1594,913085	531,6376951	73,53716661	3,63832E-06
Остаток	8	57,83608149	7,229510186
Итого	11	1652,749167

Результаты дисперсионного анализа модели, построенной по оставшимся n₂=12 наблюдениям, представлены в табл.7.

Таблица 7

Дисперсионный анализ
	df	SS2	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	3407,138114	1135,712705	22,00295081	0,000321119
Остаток	8	412,9310526	51,61638157
Итого	11	3820,069167

Результаты дисперсионного анализа модели, построенной по всем n=n₁+ n₂=24 наблюдениям, представлены в таблице (рис.1.8.) (ESS=782,19).

Рассчитаем статистику F по формуле:

где – число объясняющих переменных модели.

Находим табличное значение F_табл = FРАСПОБР(0,05;4;16)=3,01.

Так как, F < F_табл , то справедлива гипотеза Н_о, т.е. можно использовать единую модель по всем наблюдениям.

2. Уравнение регрессии с фиктивными переменными.

Модели, в которых объясняющие переменные носят как количественный, так и качественный характер, называются ANCOVA-моделями (моделями ковариационного анализа). Если качественная переменная имеет k альтернативных значений, то при моделировании используют только k-1 фиктивную переменную.

Пример №6

Таблица 8

Фирма	Н	М	F	R
a	280	23	0	0
b	230	24	1	0
c	112	43	1	1
a	176	48	0	0
c	190	46	1	1
a	178	45	0	0
b	216	25	1	0
c	110	75	1	1
b	145	65	1	0
a	200	43	0	0
b	265	20	1	0
c	148	70	1	1
c	150	62	1	1
b	176	40	1	0
a	123	66	0	0
a	245	20	0	0
c	176	39	1	1
b	260	25	1	0
a	236	43	0	0
a	205	43	0	0
a	240	25	0	0
b	95	70	1	0
a	115	62	0	0
c	200	25	1	1
b	126	45	1	0
a	225	40	0	0
c	210	30	1	1
b	146	65	1	0
a	260	30	0	0
b	220	22	1	0
b	194	33	1	0
c	156	48	1	1
a	100	75	0	0
b	240	21	1	0
a	170	56	0	0
c	116	58	1	1
b	120	40	1	0
a	240	37	0	0
b	101	56	1	0
a	120	67	0	0

Исследуется надежность станков (Н-время безаварийной работы до последней поломки, часы) трех производителей a,b,c. При этом учитывается возраст станка М (в месяцах).

Уравнение регрессии Н = β₀ + β₁М построенное по выборке (табл.8 ) из 40 станков без учета различия станков различных фирм имеет невысокий коэффициент детерминации R² = 0,70.

Требуется:

Построить уравнение регрессии с учетом производителя станков.

Решение

Качественная переменная «Производитель станков» может принимать k=3 значения (a,b,c). Поэтому нужно ввести в модель k-1=3-1=2 фиктивных переменных F и R.

Для производителя a F=R=0, для производителя b F=1, R=0, для производителя c F=R=1.

Теперь нужно оценить параметры уравнения

Н=β₀+β₁М+γ₁F+γ₂R методом наименьших квадратов. Для этого Сервис→→ Анализ данных →→ Регрессия. Результаты представлены в таблице (рис.1.14).

Получили уравнение вида Н = 317- 2,7*М - 29,4*F + 3,6*R с коэффициентом детерминации R²=0,77, что на 7% больше. Из анализа этого уравнения можно заключить, что при одном и том же возрасте станков, станки фирмы b работают до поломки на 29,4 часа меньше по сравнению со станками фирмы а, а станки фирмы с - на 25,8 часа меньше по сравнению со станками фирмы а.

Таким образом, при исследовании надежности станков учет фирмы производителя дал положительные результаты.

Рис.1.14.