Лабораторная работа №3. Устранение гетероскедастичности и автокорреляции в остатках.

1. Устранение гетероскедастичности.

Как известно, гетероскедастичность приводит к неэффективности оценок. Это может обусловить необоснованные выводы по качеству модели.

Пример №3.

Используя исходные данные из примера №2 (рис.1.7.)

Требуется:

Обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК) оценить параметры модели, тем самым, устранить гетероскедастичность.

В рассматриваемом примере данный метод применяется при известных для каждого наблюдения дисперсиях σ_i² отклонений ε_i , i=1, 2, ……,n. В этом случае можно устранить гетероскедастичность, разделив каждое наблюдаемое значение на соответствующее ему значение среднего квадратического отклонения σ_i и поэтому в данном примере ОМНК можно назвать взвешенным методом наименьших квадратов.

Решение

С помощью надстройки Excel Анализ данных по аналогии с примером №2 надо поставить флажок «Остатки» в параметрах Регрессии и получить значения остатков (табл. 5, столбец 3). Далее выполним расчеты в следующей последовательности (рис.1.10.):

1. в ячейку F27 поместить формулу =СРЗНАЧ(F2:F25) рассчитывающую среднюю арифметическую значений, заданных в списке аргументов;

2. в ячейку G2 поместить формулу =F2-$F$27 и с помощью процедуры автозаполнение распространить ее на ячейки диапазона G2:G25;

3. в ячейку I2 поместить формулу =A2/$G2 и с помощью процедуры автозаполнение распространить ее на ячейки диапазона I2:M25, тем самым, каждое значение исходной выборки A2:D25 (рис.1.7.) будет разделено на σ_i ;

4. по МНК для преобразованных значений построить уравнение регрессии без свободного члена с гарантированным качеством оценок. Введем новые обозначения

Z=1/ σ_i, Y_i^*=1/ σ_i, X_i^*=1/ σ_i, рассчитаем, по известному алгоритму, параметры уравнения регрессии (рис. 1.11.) и запишем

Y^* = -193,1 Z + 0,67 X₁^* + 1,34 X₂^* + 8,02 X₃^*,

где мы получили коэффициенты при переменных с несмещенными стандартными ошибками;

5. возвращаемся к начальному виду уравнения

Y = -193,1 + 0,67 X₁ + 1,34 X₂ + 8,02 X₃

6. для новых данных (рис.1.10) выполним тест Тест Гольдфельда – Квандта (см. лабораторная работа №2). Значение F-статистики равно 2,2. F_табл= 6,39.

Статистика F< F_табл , следовательно, модель гомоскедастична.

Рис. 1.10.

Рис.1.11.

2. Устранение автокорреляции в остатках.

Для устранения автокорреляции (как и в случае с гетероскедастичностью) можно воспользоваться обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК). Для применения ОМНК необходимо специфицировать модель автокорреляции регрессионных остатков. Обычно в качестве такой модели используется авторегрессионный процесс первого порядка.

Пример №4

Воспользуемся исходными данными и результатами лабораторной работы №2 (рис 1.7., табл.5), в которой после применения теста Дарбина-Уотсона гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков не может быть ни принята, ни отвергнута. Следует заметить, что в этом случае на практике предполагают существование автокорреляции в остатках.

Требуется:

Обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК) оценить параметры модели, тем самым, устранить автокорреляцию в остатках.

Решение

Вначале определим преобразованные значения объясняемой переменной и объясняющих переменных (рис.1.12.) с применением следующих формул:

Y_i^*= Y_i - ρ Y_i-1, X_i^*= X_i – ρ X_i-1, где

i=2,…,n,

ρ – коэффициент авторегрессии остатков 1-^го порядка.

ρ ≈ 1 – DW/2.

DW=1,35 (см. лабораторная работа №2, задание 3), ρ ≈ 1–1,35/2=0,325.

Поправки Прайса-Винстена:

Y₁^*= Y₁(1- ρ²)^1/2, X₁^*= X₁(1- ρ²)^1/2.

Положим β₀^*= β₀(1- ρ), тогда β₀= β₀^*/(1- ρ).

Далее выполним расчеты в следующей последовательности (рис.1.12.):

Рис.1.12.

1. в ячейку E2 поместить формулу =A$2*КОРЕНЬ((1-0,325^2)) и с помощью процедуры автозаполнение распространить ее на ячейки диапазона F2:H2, получим значения Y₁^*, Х₁^* ;

2. в ячейку E3 поместить формулу =A3-0,325*A2 и с помощью процедуры автозаполнение распространить ее на ячейки диапазона E3:H25, получим значения Y_i^*, Х_i^* ;

3. по МНК находим коэффициенты уравнения

Y^* = β₀^* + β₁ X₁^*+ β₂ X₂^* + β₃ X₃^*

Для этого Сервис→→ Анализ данных →→ Регрессия. Результаты представлены в таблице (рис.1.13);

Рис.1.13.

4. β₀= β₀^*/(1- ρ). β₀= -14,54/(1-0,325)= -21,54.

5. В результате применения ОМНК уравнение примет вид

Y = -21,54 + 0,52 X₁ + 0,39 X₂ + 0,65 X₃