Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона

Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограммы) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними (см. рис.3). Объяснить возникновение несовпадений можно двумя разными способами:

1. Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т. п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.

2. Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся с результатами наблюдений.

Для выбора первого или второго варианта ответа служат так называемые критерии согласия. Существует несколько различных критериев согласия: К. Пирсона, А. Н. Колмогорова, Н. В. Смирнова и другие. Мы рассмотрим лишь критерий Пирсона, называемый также критерием ² («хи-квадрат»).

Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во-первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во-вторых, простотой вычислительного алгоритма.

5.1. Группировка исходных данных

Критерий Пирсона применяется к сгруппированным данным. Предположим, что было произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через _i количество результатов измерений (значений случайной величины), попавших в i-й промежуток. Очевидно, что .

Отметим, что критерий ² будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1. количество n опытов достаточно велико, по крайней мере ;

2. в каждом промежутке окажется не менее 5-10 результатов измерений, то есть при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

Пусть концами построенного разбиения являются точки z_i, где z₁<z₂<…<z_l-1, то есть само разбиение имеет вид

Произведем группировку для данного варианта. Объединим последние три промежутка разбиения, заменим самую левую границу разбиения на , а самую правую на и придём к следующему интервальному распределению, пригодному для непосредственного применения критерия Пирсона:

;	;5.5	5.5;7.5	7.5;9.5	9.5;11.5	11.5;13.5	13.5;15.5
	9	9	12	15	21	14

15.5;17.5	17.5;19.5	19.5;21.5	21.5; +
10	8	7	5