6. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

При использовании для решения задач формул полной вероятности и Бейеса необходимо четко представлять общую схему их применения. Необходимо ввести и четко определить события-гипотезы В_i и итоговое событие А, указать вероятности гипотез Р(В _i) и условные вероятности события А при выполнении одной из гипотез

При этом необходимо помнить, что совокупность гипотез (событий В_i ) всегда образует полную группу событий и поэтому сумма их вероятностей равна единице.

Пусть некоторое событие А может произойти при условии, что появляется одно из несовместных событий (гипотез) В₁,В₂,...,В_n , образующих полную группу событий.

Вероятность события А, которое может произойти лишь при появлении одного из несовместных событий В₁,В₂,...,В_n образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Это равенство называют формулой полной вероятности , где - вероятность наступления события А при наступлении гипотезы В_i .

Пусть событие А произошло. То, что событие А произошло, изменит вероятности гипотез В₁,В₂,...,В_n и условная вероятность гипотезы Р_A (В_i) в предложении, что событие А произошло, определится по формуле Бейеса:

Задача 1. На сборку поступают детали из трех цехов в отношении 1:3:6. Количество бракованных деталей в продукции цехов соответственно равно 5 %,2 %, 8 %. Определить вероятность того, что :

а)наудачу взятая деталь окажется бракованной;

б)оказавшаяся бракованная деталь изготовлена во втором цехе.

Решение: Обозначим через А- событие, что взятая наудачу деталь окажется бракованной. Так как на сборку поступают детали из трех цехов, то эта деталь может быть изготовлена либо 1 цехом (гипотеза В₁), либо 2 (гипотеза В₂), либо 3 (гипотеза В₃).Следовательно, вероятность события А найдена по формуле полной вероятности :

Вероятности гипотез В₁,В₂,...,В_n, определим по формуле Р=m/n, если в качестве n принять сумму всех частей, а в качестве m - соответствующее количество частей для

данного цеха. n=1+3=6=10 , m₁=1 ; m₂= 3 ; m₃=6 ;

Находим условные вероятности :

.

а) Вычисляем вероятность события А.

Р(А)=0,1 0,05 + 0,3 0,02 + 0,6  0,08 = 0,059

б) Используя формулу Бейеса получим :

Если по формуле Бейеса подсчитать условные вероятности всех гипотез, то они в сумме должны равняться единице.

Задача 2. Обои поступают на склад с двух фабрик:70% из первой и 30 % из второй . При этом товар первой фабрики имеет 10 % брака, второй-20 %.Найти вероятность того, что взятый наугад рулон без дефекта.

Решение: А - событие, что наугад взятый рулон без дефекта. Но этот рулон может принадлежать либо первой фабрике (событие В₁), либо второй (событие В ₂).

Искомую вероятность найдем по формуле полной вероятности

-вероятность того, что рулоны без дефекта.

Р(А)=0,70,9+0,30,8=0,63+0,24=0,87

З А Д А Ч И

1. На склад поступает продукция 3 фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20 %,второй-46%, и третьей - 34 %.Известно, что процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3 %, для второй 2 %, и для третьей-1 %.Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалась нестандартным.

Ответ: (О,322)

2. Обои поступают на склад с двух фабрик:70 % с первой и 30 % со второй. При этом товар первой фабрики имеет 10 % брака, а второй - 20 %. Найти вероятность того, что взятый наугад рулон без дефекта.

Ответ: (0,87 )

3. Электролампы изготавливаются на 3 заводах. Первый поставляет 45 % общего количества электроламп, второй ­40 %,третий - 15 %.Продукция первого завода содержит 70 % стандартных ламп, второй - 80 %,третьего-81 %.В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная лампа окажется стандартной.

Ответ: (0,757)

4. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач по дифференциальному исчислению,30 по интегральному. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет решить 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному.

Ответ:(0,41)

5.Имеется три одинаковых урны. В 1 урне содержится 3 белых и 2 черных шара; во 2 - 4 белых и 6 черных; в 3 -2 белых и 4 черных. Из одной наугад выбранной урны взят шар. Найти вероятность того, что шар белый.

Ответ: 4/9

6. Из урны содержащей 2 белых и один черный шар, пе­рекладывают шар в урну, содержащую 2 черных и один бе­лый. Определить вероятность того, что из второй урны изв­лечен черный шар после перекладывания.

Ответ: 7/12

7. Радиолампа, поставленная в телевизор, может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями Р₁,Р₂,Р₃, где Р₁=Р₃ =0,25; Р₂ =0,5. Вероятность того, что радиолампа проработает заданное число часов для этих партий равны соответственно 0,1; 0,2; 04. Определить вероятность того, что радиолампа проработает заданное число часов.

Ответ: (0,225)

8. Пусть при массовом производстве некоторого изде­лия вероятность того, что оно окажется стандартным равна 0,95. Для контроля производится некоторая упрощенная проверка стандартности изделия, которая дает положитель­ный результат в 99 % случаев для стандартных изделий и в 3 % случаев для нестандартных изделий. Какова вероят­ность того, что стандартное изделие выдерживает упро­щенную проверку.

Ответ: (0,998)

9. На фабрике 3 машины производят соответственно 25,35 и 40 % всех изделий. В их продукции брак составля­ет соответственно 5,4 и 2 %.Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие, произведенные на фабрике, дефектно ?

Ответ: (0,0031)

10. В группе 20 лыжников,6 велосипедистов и 4 бегу­на. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника-0,9,для велосипедиста-0,8 и для бегуна-0,75. Найти вероятность того, что спортсмен выбранный науда­чу, выполнит норму. Кто из спортсменов вероятней всего выполнит норму ?

Ответ:0,86; 60/86; 16/86; 10/86

11.В ящик, содержащий 3 одинаковых детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна де­таль. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.

Ответ: (0,625)

12.Три стрелка произвели залп, причем две пули пора­зили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень пер­вым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6;0,5 и 0,4.

Ответ: 10/19

13.Для участия в спортивных соревнованиях из первой группы выделено 4 студента, из второй-6,а из треть­ей-5.Вероятность того, что студент из 1,2 и 3 группы по­падет в сборную равна соответственно 0,5;0,4; 0,3.Найти вероятность , что в сборную попадет наудачу выбранный студент. Найти вероятность, что это студент из 1,2,3 группы.

Ответ:59/150; 20/59; 24/59; 15/59

14.Имеются два ящика с нитками. В первом-2 белых и 1 черный моток, во втором-1 белый и 4 черных. Наудачу выби­рают один ящик и вынимают один моток. Какова вероятность:

а) вынуть белый моток;

б) вынуть черный моток;

Ответ:13/30; 17/30

15.Два консервных завода поставляют в магазин мяс­ные и овощные консервы, причем первый поставляет в три раза больше второй. Доля овощных консервов в продукции первого завода составляет 60 %,а у второго 50 %.Для контроля в магазине взято одно изделие. Какова вероят­ность того, что это окажутся мясные консервы ?

Ответ: 2/3

16.Два охотника увидели медведя и одновременно выстрелили по нему. Медведь был убит, в его шкуре обна­ружилась пуля. Известно, что первый попадает в цель с вероятностью 0,8, а второй-0,4.Какова вероятность, что медведя убил первый охотник; второй охотник ?

Ответ: 6/7 ;1/7

17.Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в других-3/4 доброкачествен­ные.

Ответ: 7/18

18.Имеется две партии однородных изделий. Первая партия состоит из 10 изделий, среди которых 2 дефект­ных. Вторая партия состоит из 20 изделий, среди которых 6 дефектных. Из первой партии берется случайным образом 3 изделия, а из второй-2 изделия. Эти 5 изделий смешивают­ся и образуется новая партия. Из новой смешанной партии берется наудачу одно изделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным.

Ответ:(0,24)

19.Изготовленное изделие с равной вероятностью ос­матриваются одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью 0,9; вто­рой-с вероятностью, 0,8.Какова вероятность, что дефект­ное изделие будет обнаружено?

Ответ: (0,85)

20.Половина поступивших на склад изделий изготовлена на первом заводе, третья часть- на втором, остальные изде­лия- на третьем. Вероятности производства брака на пер­вом, втором и третьем заводах соответственно равны

р₁=0,2, р₂=р₃=0,1.Произвольно выбранное изделие оказалось с дефек­том. Какова вероятность того, что это изделие изготовле­но:

а) на первом заводе;

б) на втором;

в) на третьем;

Ответ: (2/3; 2/9; 1/9)