§3. Вероятность произведения

ЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ.

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на ус­ловную вероятность другого, найденную в продолжении, что первое событие уже наступило, т.е.

Р(АВ) = Р(А)  Р_А (В) или Р(АВ) = Р(В) Р_В(А)

Формула умножения вероятностей может быть распространена на любое число m зависимых событий А₁А₂ ...А_m.

Р(А₁А₂..А_n)=Р(А₁) 

причем вероятность последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли.

Задача 1. В коробке 2 белых и 3 синих ручки. Из коробки вынимают подряд две ручки. Найти вероятность того, что обе ручки белые.

Решение: А- событие , что обе ручки белые. Событие В- появление первой белой ручки, событие С- появление второй белой ручки. Тогда А= ВС.

Так как первая ручка не возвращается в коробку, то события В и С зависимые.

Р (В) = 2/5;

Вероятность события С находим в предположении, что В уже произошло, т.е. Р_B(С) = ¼. Искомая вероятность

Задача 2. В урне 5 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что 3 наудачу извлеченных шара окажутся белыми, если шары извлекаются без возвращения ?

Решение: А- событие, что три шара белые. Событие В- появление первого белого шара, событие С- появление второго белого шара, событие Д- появление третьего белого шара. Так как шары извлекаются без возвращения, то событие В,С,Д зависимые.

Р(А) = Р(ВСД) = Р(В)Р_B(С)  Р_BC(Д)

§ 4. Теорема сложения совместных событий.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) (1)

Для трех совместных событий имеем:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС).

События А,В и С могут быть как зависимыми , так и независимыми, тогда Р(АВ)=Р(А)Р(В) (для независимых событий) и Р(АВ)=Р(А) Р_А(В) (для зависимых событий) .

Задача 1.

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8; для второго 0,9.Найти вероятность поражения цели, т.е. вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадет в цель.

Решение: Событие А- попадание первого стрелка в мишень; В- попадание второго стрелка в мишень. Событие А и В совместны и независимы. По условию Р(А)=0,8;Р(В)=0,9.Находим вероятность события А+В. Воспользуемся формулой:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)= 0,8+0,9 - 0,80,9= 0,98

Эту задачу можно было решить воспользовавшись формулой вероятности появления хотя бы одного события.

§ 5. Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть события А₁А₂,...,А_n независимы в совокупности, причем Р(А₁)=Р₁, Р(А₂)=Р₂,...,Р(А_n) = P_n

и в результате испытания могут наступить все события, либо часть из них, либо одно из них. Тогда вероятность появления хотя бы одного из них определяется по формуле

где .

В частности, если все события имеют одинаковую вероятность , равную Р, то вероятность появления хотя бы одного из событий равна

Р(А) = 1 – qⁿ , так как q₁ = q₂= ... = q_n = q.

Задача 1.Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875.Найти вероятность попадания при одном выстреле.

Решение: Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна:

Р(А) =1-q³, q - вероятность промаха.

Р(А)=0,875 - по условию, следовательно 0,875 =1-q³

q³= 1-0,875 = 0,125

q= 0,5 ; р+ q = 1; р = 0,5.

З А Д А Ч И

1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10 000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета.

Ответ: (Р = 0,02)

2.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

Ответ: (Р=0,4)

3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

Ответ: (Р=44/45)

4. В ящике 10 деталей, среди которых 2 стандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной стандартной детали.

Ответ:(Р= 2/3)

5. В магазин трикотажных изделий поступили капроновые чулки,60 % которых доставила первая фабрика,25 % -вторая и15 % - третья. Какова вероятность того, что купленные наугад чулки изготовлены на первой или третьей фабрике?

Ответ: (Р=0,75)

6.Из колоды в 36 карт наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Ответ: (Р=0,3053)

7. На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется не менее 2.

Ответ: (Р=0,9187)

8. Данное предприятие в среднем дает 21 % продукции высшего сорта и 70 % продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта.

Ответ: (Р=0,91)

9.Для производственной практики на 30 студентов представлено 15 мест в Караганде, 8-в Кокчетаве и 7- в Алматы. Какова вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в один город?

Ответ:(Р=0,331)

10.Для некоторой местности среднее число ясных дней в июле равно 25.Найти вероятность того, что первые три дня июля будут ясными.

Ответ:(Р=0,512)

11.В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете . Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Ответ: (Р=0,2)

12.Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

Ответ: (Р=0)

13.В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

Ответ: (Р=7/24)

14.В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара черные.

Ответ: (Р= 0,046)

15.В урне 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что 3 наудачу извлеченных шара окажутся белыми.

Ответ: (Р=5/28)

16.При изготовлении детали заготовка должна пройти 4 операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событием независимым, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции равна 0,02, на второй - 0,01, на третьей-0,02; на четвертой - 0,03.

Ответ: (Р=0,92)

17.Сколько раз нужно подбросить две пятикопеечные монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,99 можно было утверждать, что хотя бы один раз выпадут два герба ?

Ответ: (n = 16)

18.Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85; из второго - 0,91.Найти вероятность поражения цели.

Ответ: (Р= 0,9865)

19.Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течении часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9;для второго-0,8 и для третьего - 0,85.Найти вероятность при следующих условиях:

1) в течение некоторого часа ни один из станков не потребует внимание рабочего;

2) все станки потребуют внимания рабочего.

Ответ: (Р =0,61; Р = 0,2)

20.Чему равна вероятность того, что при n подбрасываниях игральной кости выпадет хотя бы один раз единица ?

Ответ: р = 1-(5/6)ⁿ

21.Вероятности попадания в цель при стрельбе 1 и 2 орудий соответственно равны 0,6 и 0,9.Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним из орудий.

Ответ: (0,96)

22.Из чисел от 1 до 20 выбирается наудачу одно число. Определить вероятность того, что выбранное число делится на 2 или на 3.

Ответ: 13/20

23.Вероятность выполнения месячного товарооборота для одного магазина 0,9;для другого-0,8. Какова вероятность того, что в течение очередного месяца план выполнит:

а)только один магазин.

b)хотя бы один магазин.

Ответ: а) 0,26; б)0,98

24.Предприятие изготовляет 95 % изделий стандартных, причем из них 86 % - первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.

Ответ: (О,817)

25.Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей ?

Ответ: (91/ 216)

26.Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал хотя бы один раз ?

Ответ: (n > 2)

27.Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное ,равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенной напряжении тока в цепи не будет.

Ответ: (0,936)

28.Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75.Найти вероятность появления события в одном испытании.

Ответ: (0,5)

29.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартного, равна 0,1.Найти вероятность того, что:

а) из трех проверенных изделий только одно окажется нестандартным;

б)нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.

Ответ: а) 0,243 б) 0,О729;

30. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом N1 и 4 детали завода N2.Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом N 1.

Ответ: (92/95)

31.В книге 403 страницы. Какова вероятность того, что номер наудачу открытой страницы оканчивается 0 или цифрой 2 ?

Ответ: (0,2)

32.В ящике 35 одинаковых пронумерованных деталей. Какова вероятность того, что наудачу вынутая деталь окажется с номером, сумма цифр которого либо 4, либо 5,либо 9.

Ответ: (0,31)

33.Два баскетболиста должны произвести по одному броску мяча. Вероятность попадания мяча в корзину 1 баскетболистом 0,9, 2 - 0,8.Найти вероятность того, что удачно произведет бросок только один баскетболист.

Ответ:(0,26)

34.В ящике находится катушки четырех цветов; белых катушек-50 %,красных-20 %, зеленых-20 %,синих-10 %. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется синей или белой ?

Ответ: (0,6)

35.В первой коробке 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во 2 -10 из них 9 стандартных. Из каждой коробки наудачу вынимают по одной радиолампе. Какова вероятность того, что обе лампы стандартные,

Ответ: 0,81

36.Вероятность студента 1 курса перейти на 2 курс равна 0,9; а вероятность окончить институт 0,8. Какова вероятность того, что студент 2 курса окончит институт.

Ответ: (0,72)

37.В группе 12 девушек и 4 юноши. Наудачу вызывают 2 человека. Определить вероятность того, что вызван юноша, если первым был вызван тоже юноша.

Ответ: (1/11)

38.Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что:

а) студент знает три вопроса;

б) только два вопроса;

в) только один вопрос экзаменационного билета:

Ответ:(0,41; 0,43; 0,13)

39.Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9; вторым - 0,8; третьим-0,7.Найти вероятность того, что :

а)только один из стрелков попадает в цель;

б)только два стрелка попадут в цель;

в)все три стрелка попадут в цель;

Ответ: (0,092; 0,398; 0,504 )

40.В каждом из трех ящиков содержится по 10 шаров. В первом ящике 8 красных, во втором-5 красных шаров; в третьем-1 красный шар. Из каждого ящика наудачу вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что все три вынутых шара- красные ?

Ответ: 0,04.

41.Два товароведа работают независимо друг от друга. Вероятность пропустить бракованное изделие первым товароведом-0,1; вторым-0,2.Какова вероятность того, что при осмотре изделия:

а) два товароведа не пропустят брак;

б) пропустят бракованное изделие;

Ответ: а) 0,72; б) 0,02

42.Брошены два игральные кости . Чему равна вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет 5 очков.

Ответ: (0,305)

43.Найти вероятность того, что герб появится хотя бы на одной монете при однократном бросании:

а) двух монет;

б) трех монет;

в) четырех монет;

Ответ: а) 0,75; б) 0,875; в)0,94:

44.Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд 2 туза.

Ответ: 1/15

45.В урне 2 белых и 4 черных шара.2 игрока достают из этой урны поочередно по одному шару, не возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до появления белого шара. Определите вероятность того, что первым достанет белый шар игрок, начинающий игру.

Ответ: 0,6.