Искомая вероятность

§ 3.Статистическое определение

ВЕРОЯТНОСТИ.

На практике часто классическое определение вероятности не применимо , так как оно предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно, а результат испытания можно представить в виде совокупности элементарных, равновозможных исходов. Поэтому используют статистическое определение вероятности. Поясним его. Относительная частота W(A) события А есть отношение числа испытаний, в которых событие А появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. ,

n-общее число произведенных испытаний,

m-число появлений события А.

Было замечено, что относительные частоты появления со­бытий при многократно повторяющихся опытах мало отлича­ются друг от друга, а последовательность частот W₁ (A),W₂ (A) ,...,W_n (A),... имеет предел. Этот предел называется статистической вероятностью события.

Рассмотрим задачи.

Задача 1. В партии из 1 000 изделий товаровед обнаружил 15 бракованных. Чему равна относительная частота появления брака ?

Решение: Обозначим через А - событие появление брака в данной партии. Всего произведенных изделий в партии n = 1000,а бракованных m - 15.

Согласно определению имеем.

Задача 2. Установлено, что в течении 15 дней процент выполнения плана магазином составлял: 110,113,110,115,109,114,110,117,115,109,112,113,111,114, 113. Определить относительную частоту дней, в которые план выполняется не менее, чем на 112 %.

Решение: Обозначим через А- событие, определяющее выполнение плана не менее, чем на 112 %.

n = 15 , m=9 , W (A)- ?

§ 4. Геометрическое определение вероятности.

В классическом определении вероятности рассматривается полная группа конечного числа равновозможных событий. На практике же очень часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение не применимо. Однако иногда в таких случаях можно пользоваться другим методом вероятности, в котором по прежнему основную роль играет понятие равновозможности некоторых событий. Применяется этот метод в задачах, сводящихся к случайному бросанию точки на конечный участок прямой, плоскости или пространства. Отсюда и возникает само название метода - геометрическая вероятность. Для определения ограничимся двумерным случаем. Одномерный и трехмерный случаи отличаются только тем, что вместо площади в них нужно говорить о длинах и объемах.

Итак , пусть на плоскости имеется некоторая область Д,

п лощадь которой S ,

и в ней содержится

другая область d ,

площадь которой S_d .

В область Д наудачу бросается точка.

Спрашивается , чему равна вероятность того, что точка попадает в область d ? При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области Д и вероятность попасть в какую-либо часть области Д пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае вероятность попадания в область d при бросании наудачу точки b область Д равна

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т.е. длиной, площадью или объемом , то вероятность появления случайной точки внутри некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области , в которой может появляться данная точка.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Капсула с космонавтами должна приземлиться в данный круг с радиусом 2 км. Вероятность приземления в любое место круга одинаковая. Какова вероятность приземления космонавтов:

а) от центра круга на расстоянии меньше 1 км.

б) в заданном секторе, составляющем 0,1 площади этого круга.

Решение: Область С₁ - круг с радиусом 2 км. Площадь этого круга S =4 .

Область С₂ - круг с радиусом 1 км. и площадью S₁ =

а) Событие А - приземление в область С_2.

Тогда

б) Событие В - приземление в сектор, площадь которого S = 0,1 S .

Поэтому

Задача 2. Велосипедист прибудет в город С обязательно в течение суток. Вероятность прибытия в любой момент одинакова. Найти вероятность того, что он прибудет в течение данного часа.

Решение: Обозначим через А- событие, что велосипедист прибудет в город в течение данного часа. Областью S является промежуток 24 часа, а S _А-1 час. Поэтому

З А Д А Ч И

1.Набирая номер телефона, абонент забыл цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Ответ: 1/10

2. В урне имеются 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Какова вероятность того, что этот шар: а)белый б)черный

Ответ: (0,3;0,7)

3. Из слова "НАУГАД" выбирается наудачу одна буква. Какова вероятность того, что это буква "Я". Какова вероятность того, что это гласная?

Ответ: (0; 0,5)

4.Из пяти карточек с буквами А,Б,В,Г,Д наудачу одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится

слово "Д В А " ?

Ответ: Р = 1/60

5. Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки А,А,М,М. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово "М А М А "

Ответ: 1/6.

6. Набирая номер телефона , абонент забыл последние две цифры и помня лишь, что эти цифры различные, набрал на наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Ответ: 1/90

7. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал х наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

Ответ: 1/

8. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну ; б)две; в)три ;

Ответ: (0,384; 0,096 ; 0,008)

9. В ящике 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

Ответ: 0,1

10.Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.

Ответ:1/2

11.Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100.Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит

цифры 5.

Ответ: (0,81)

12.В мешочке 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: О,П,Р,С,Т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в "одну линию" кубиков можно будет прочесть слово "СПОРТ".