II. Числовые характеристики выборки.

Для изучения основных свойств статистического распределения используют выборочные числовые характеристики. Для нахождения центра распределения вычисляют различные типы средних величин, моду и медиану, степени вариации -размах вариации, среднее линейное отклонение , дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффи-циент вариации и другие величины.

Рассмотрим формулы для вычисления числовых характеристик статистического распределения.

1. Выборочная средняя арифметическая:

2. Выборочная средняя квадратическая

3.Выборочная средняя геометрическая

При вычислении различных типов средних величин для одного и того же вариационного ряда всегда имеем

Эти неравенства характеризуют свойство мажорантности средних. Для упрощения вычисления выборочной средней арифметической удобно переходить от данных вариант Х_i к условным вариантам , где h разность между соседними вариантами, С- ложный нуль (варианта с наибольшей частотой): .

4.Модой М₀ называется варианта, имеющая наибольшую частоту.

5.Медианой М_е называется такая варианта, которая делит вариационный ряд распределения на две равные части, т.е. варианта, находящаяся в середине ряда распределения.

Если в дискретном вариационном ряду (2k+1) значений, то М_е= х_k+1.

Если число вариант четное n=2k, то медиана определяется как среднее арифметическое из двух срединных значений, т.е. .

6.Размах вариации R определяется как разность между максимальной и минимальной вариантами, т.е. .

7.Среднее линейное отклонение – это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней арифметической

8.Дисперсией называется средний квадрат отклонения всех значений признака от его средней величины.

9.Исправленная дисперсия

10.Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение называют также стандартным отклонением.

11.Коэффициент вариации - это выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Пример 3. Для данного вариационного ряда вычислить среднюю арифметическую, среднюю геометрическую и среднюю квадратическую и проверить свойство мажорантности средних.

х_i: 2, 6, 9, 12

Решение :

, что соответствует свойству мажорантности средних

Пример 4. Урожайность пшеницы, возделываемой на трех участках с одинаковыми условиями –роста и развития. задана в таблице:

Х (ц)	15	16	17
Площадь (га)	10	30	10

Найти дисперсию урожайности пшеницы.

Решение: Требуется найти и .

III.Статистические оценки параметров распределения

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют его приближенное значение, зависящее от данных выборки.

Статистическая оценка является случайной величиной.

Обозначим θ – оцениваемый параметр теоретического распределения, θ^*- его статистическую оценку. Величина называется точностью оценки.

Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру θ, т.е. , и смещенной, если .

Оценка θ^*- называется состоятельной, если при любом

, т.е. если оценка θ^* сходится по вероятности k θ.

Оценка θ^* называется эффективной, если при заданном объеме выборки n она имеет наименьшую дисперсию.

Теорема 1. Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания.

Теорема 2. Исправленная выборочная дисперсия S² является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии.

Рассмотренные статистические оценки называются

точечными, т.к. они выражаются одним числом. Точечными оценками пользуются обычно при большом объеме выборки.

При небольшой выборке пользуются интервальными оценками.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки  по ^* называется вероятность , с которой выполняется неравенство .

Перейдем к двойному неравенству, тогда можно записать .

Интервал , который покрывает неизвестный параметр θ с заданной надежностью , называется доверительным.

Замечание. Все основанные на теории вероятностей правила статистической оценки параметров действуют лишь с определенным уровнем значимости т.е. могут приводить к ошибочным результатам с вероятностью . Обычно  равно 0,05; 0,01 или 0,001.

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении имеет вид:

, где число t находится из выражения по таблице (приложение 2).

Точность оценки ;

Замечание. Если необходимо найти минимальный объем выборки для оценки математического ожидания с заданной точностью и надежностью то используют формулу: ;

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестном имеет вид: ,

где -исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент Стьюдента, определяется по таблице по заданным и (приложение 3).

Пример 5. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально со средним квадратическим отклонением м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину моря с ошибкой, не более 5 м, с надежностью 90 %.

Решение: По условию задачи дано :

Найдем t из условия, что По таблице функции Лапласа находим t=1,65. Тогда .

Итак , если ошибка то необходимо сделать 25 измерений, чтобы с надежностью 90 % определить глубину моря.

Пример 6. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя =20 и объем выборки

Решение: необходимо найти доверительный интервал

.

Найдем значение t.

По таблице находим t=1,96 .

- искомый доверительный интервал.

Пример 7. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены и исправленное среднее квадратическое отклонение S=8.

Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью 0,999.

Решение: Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию а. Поэтому требуется найти доверительный интервал для оценки а при неизвестном значении .

Найдем По таблице (приложение 3) по и находим .

Тогда

- искомый доверительный интервал.