Вопросы для самопроверки

1. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина. Примеры дискретной случайной величины.

2. Виды дискретных распределений.

3. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.

4. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.

5. Математическое ожидание и дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных случайных величин.

6. Математическое ожидание и дисперсия числа наступления событиях.

7. Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона.

8. Непрерывная случайная величина. Функция распределения, ее свойства и график.

9. Плотность вероятность и кривая распределения.

10. Связь между функцией распределения и плотностью вероятности.

11. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

12. Начальные и центральные моменты случайных величин.

13. Закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной величины.

14. Функция распределения нормального закона и ее связь с функцией Лапласа.

15. Вероятность попадания нормально распределенной величины в заданный интервал.

16. Понятие о законе больших чисел, его значение.

17. Неравенство Чебышева и теорема Чебышева.

18. Теорема Бернулли.

Элементы математической статистики.

I.Основные понятия и определения.

Математическая статистика- это наука, занимающаяся разработкой методов сбора, регистрации и обработки результатов измерений (наблюдений) с целью изучения закономерностей случайных массовых явлений. Результаты измерений (наблюдений) называются статистическими данными.

Основными задачами математической статистики являются:

1. приближенное определение неизвестного закона распределения случайной величины;

2. приближенное определение неизвестных параметров распределения;

3. проверка правдоподобия гипотез о распределении.

Статистической совокупностью называется совокупность объектов, одинаковых в каком-либо отношении, но в то же время обладающих варьирующими (изменчивыми) признаками, представляющими предмет статистического изучения.

Вся исследуемая совокупность однородных объектов называется генеральной совокупностью.

Множество из n объектов , отобранных случайным образом из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой. Число n объектов, попавших в выборку, называется объемом выборки. Метод основанный на том, что по данным обследования выборки, взятой из генеральной совокупности, делается заключение о всей генеральной совокупности, называется выборочным методом.

Выборка называется репрезентативной, если каждый элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.

Если из генеральной совокупности отобрана выборка объема n, то количественное значение признака в этой выборке -это случайная величина, возможные значения которой обозначают символами Х₁,Х₂,…,Х_k и называют вариантами. Числа n_i объектов с одинаковыми значениями вариант называются частотами (весами) и обозначаются n₁,n₂,…,n_k .

Последовательность значений вариант, расположен-ных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Статистическим распределением называют вариационный ряд значений выборки и соответствующих им частот n_i или относительных частот W_i.

Хi	X1	X2	…	Xk
ni	n1	n2	…	nk

где n₁,+n₂,+ …+ n_k =n – объем выборки

или

Хi	X1	X2	…	Xk
Wi	W1	W2	…	Wk

.

Пусть дано статистическое распределение количественного признака Х.

Хi	X1	X2	…	Xk
ni	n1	n2	…	nk

- объем выборки.

Обозначим n_x – число наблюдений значений признака, меньших чем х.

относительная частота события Х<х.

Эмпирической функцией распределения называется функция ^, определяющая для каждого значения х относительную частоту события Х<х, т.е.

⁼ .

Эта функция получается опытным путем. В отличие от эмпирической функции распределения выборки ^, функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией. Она определяет вероятность события Х<х, а эмпирическая функция- относительную частоту этого же события. Эмпирическая функция распределения служит для оценки теоретической функции генеральной совокупности.

Статистическое распределение частот (относительных частот) можно изобразить графически.

Полигоном частот (относительных частот) называется ломаная линия с вершинами в точках (x_k,n_k), где x_k – варианта, n_k – ее частота, или (x_k,W_k), где W_k- относительная частота.

Пример 1. Построить полигон частой для статистического распределения дневных температур в июне месяце:

xi	20º	23º	24º	26º	27º	30º
ni	1	4	5	8	10	2

Для непрерывных распределений более наглядное представление о характере распределения случайной величины дает гистограмма.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями длиной h и высотой n_i / h, где h- длина каждого частичного интервала.

Пример 2. Построить гистограмму частот для статистического распределения из примера 1.

Решение: .

интервал	200-220	220-240	240-260	260-280	280-300
ni	1	6	7	14	2
ni/h	1/2	3	7/2	7	1

Строим гистограмму частот:

Если соединить середины верхних прямоугольников гистограммы, то получим полигон частот.