§ 8. Нормальное распределение.

Нормальным называют распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью .

где а- математическое ожидание;

-средне квадратическое отклонение случайной величины Х.

Кривая у=f(х) имеет вид, изображенный на рисунке. Эта кривая называется кривой Гаусса.

0. х

Вероятность того, что Х примет значения, принадлежащее интервалу :

где

функция Лапласа. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа , может быть вычислена по формуле .

В частности при а=0 справедливо равенство

Решение задач:

Задача 1. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а=40 и дисперсией Д=200. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (30;80).

Решение: Здесь

Применим формулу

Задача 2. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна а=40 см. и среднее квадратичное отклонение равно см., то какую точность изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

Решение:

Требуется найти такое положительное число для которого так как ,

то получим

; По таблице (приложения 2) находим:

. Значит, .

То есть .

Задача 3. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм. и математическим ожиданием а=0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка

Найдем критические точки при х=а.

при

, при . Значит в функция имеет максимум. Следовательно,

Медианой М_е(Х) называют то возможное значение Х, при котором ордината делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения. Так как нормальная кривая (график функции ) симметрична относительно прямой х=а, то ордината делит пополам площадь, ограниченную нормальной кривой. Значит, М_е(Х)=а.

Итак, мода и медиана нормального распределения совпадают с математическим ожиданием , а хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

Решение.

Имеем мм., а=0, мм. Определим вероятность появления случайной ошибки, для которой мм.

Теперь найдем вероятность того, что из трех независимых измерений хотя бы одно не превзойдет 4 мм.:

где

(хотя бы одно)

Ответ:

Задача 4. Нормально распределенная случайная величина Х задана дифференциальной функцией

Найти моду и медиану.

Решение: Модой называют то возможное значение Х, при котором дифференциальная функция имеет максимум.

§ 9 . Закон больших чисел.

Случайный характер величины проявляется в том, что нельзя предвидеть, какое именно из своих значений она примет в результате испытания. Но совместное действие многих случайных причин может приводить к результату, почти не зависящему от случая. Так, при рассмотрении сумму большого числа случайных величин и их средних арифметических, можно заметить, что частичное погашение отклонений при сложении вызывает уменьшение рассеяния средней арифметической и дает возможность предсказать ее поведение при неограниченном увеличении числа слагаемых. Закономерности такого рода и условия их возникновения составляют содержание ряда важных теорем, получивших общее название закона больших чисел.

Под законом больших чисел (ЗБЧ) понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, отклонение средней арифметической достаточно большого числа случайных величин от постоянной - средней арифметической их математических ожиданий- не превышает как угодно малого числа >1.