§5. Дифференциальная функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

(плотность вероятности)

Дифференциальной функцией распределения вероятностей называют первую производную от

интегральной функции :

Часто вместо термина «дифференциальная функция» используют термин «плотность вероятности». Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение принадлежащее интервалу (а,b) определяется равенством

Зная дифференциальную функцию, можно найти интегральную функцию по формуле: .

Дифференциальная функция (плотность распределения) обладает следующими свойствами :

Свойство 1. Дифференциальная функция неотрицательна, т.е.

f(x)0

Cвойство 2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от

равен единице:

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а,b) то

Свойство 3.

Если задана плотность вероятности f(x) непрерывной случайной величины Х, то можно определить ее функцию распределения по формуле:

.

Решение задач.

Задача 1. Задана плотность вероятность случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).

Решение:

Искомую вероятность найдем по формуле

Получим

Задача 2. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Решение: Функцию распределения найдем по формуле

1. Если х0, то f(x)=0, следовательно,

2. Если то

3. Если то

Итак, искомая интегральная функция имеет вид:

§6 . Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Математические ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интег рал

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a,b],то

если возможные значения принадлежат всей оси х, то

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной , равенством .

Замечание 1.

Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Замечание 2. Для вычисления дисперсии более удобны формулы:

Все свойства, указанные выше для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Решение задач.

Задача 1.Случайная величина задана интегральной функцией

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х. Построить графики функций F(x) и f(x).

Решение: Найдем дифференциальную функцию Х:

Найдем математическое ожидание

Найдем дисперсию случайной величины Х:

;

П остроим график функций F(x) и f(x)

Ответ:

§ 7. Равномерное распределение.

Равномерным называется распределения вероятностей непрерывной случайной Х, если на интервале (а,в) которому принадлежат все возможные значения Х, дифференциальная функция сохраняет постоянное значение, а именно ; вне этого интервала

f(x)

a b x

Таким образом:

Решение задач:

Задача 1.

Определить математическое ожидание случайной величины с равномерным распределением.

Решение:

Имеем М(Х) =

=

= ; т.е. М(Х)= , как это должно быть в силу симметрии распределения.

Задача 2.

Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины с равномерным распределением.

Решение:

Применим формулу Д(Х)=М(Х²)-[M(X)] ², учитывая найденное в предыдущей задаче значение М(Х)= .

Теперь вычислим М(Х²); получим

М(Х²)=

=

= ;

Отсюда, Д(Х)=

-

= ;

Тогда, (Х)= =

Ответ: ;

.

Задача 4. Цена деления шкалы амперметра равна

0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение: Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Дифференциальная функция равномерного распределения , где b-a длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, вне этого интервала . В данной задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х равна 0,1; поэтому .

Ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02;0,08).

По формуле получим

Ответ: .