§4. Непрерывные случайные величины, числовые характеристики.

1. Функция распределения вероятностей случайной величины. (интегральная функция распределения).

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

F(x)=P(X<x)

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция». Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины:

Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно- дифференцируемая функция с непрерывной производной .

Свойства интегральной функции распределения.

Свойство 1. Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

0F(x)1

Свойство 2. Функция F(х) есть неубывающая функция, т.е.

F(x₂)F(x₁), если x₂ >x₁

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение , заключенное в интервале (а,b), равна приращению интегральной функции на этом интервале: .

Следствие 2.Вероятность того, что случайная величина Х примет одно определенное значение, например х₁, равна нулю:

Р(Х=х₁)=0

Свойство 3. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а,b), то

F(x)=0 при xа

F(x)=1 при xb

Решение задач:

Задача 1. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

Х	1	4	8
Р	0,3	0,1	0,6

Найти интегральную функцию распределения F(x) и начертить ее график.

Решение:

1. Если х1, то F(x)=0 (третье свойство). Действительно, значений, меньших числа 1, величина Х не принимает. Следовательно, при x1, функция

F(x)=P(X<x)=0.

2. Если 1<x4, то F(x)=0,3. Действительно, Х может принять значение 1 с вероятностью 0,3.

3. Если 4<x8, то F(x)=0,4. Действительно, если х₁ удовлетворяет неравенству 4<x₁8,то F(x₁) равно вероятности события Х<x₁,которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 1 (вероятность этого события равна 0,3) или значение 4 (вероятность этого события равна 0,1). Так как эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события Х<x₁ равна сумме вероятностей 0,3+0,1=0,4.

4. Если х>8, то F(x)=1.

Действительно, события Х8 достоверно, следовательно, его вероятность равна единице.

Значит , искомая интегральная функция имеет вид:

Построим график этой функции:

Задача 2. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (2,3)

Решение: Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (а,в), равно приращению интегральной функции в этом интервале:

Р(a<X<b)=F(b)-F(a)

У нас a=2,b=3, тогда:

Задача 3. Случайная величина Х задана интегральной функцией

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25;0,75).

Решение:

1. Найдем вероятность того, что Х примет значение заключенное в интервале (0,25;0,75)

2. Найдем вероятность , что в четырех испытаниях Х ровно три раза примет значение принадлежащее (0,25;0,75):