§2. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Закон распределения полностью характеризует случай­ную величину. Но часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда выгоднее пользоваться числами, которые описывают слу­чайную величину суммарно; такие числа называется число­выми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожида­ние.

Определение 1.Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности :

М ( Х ) = х₁ р₁+ х₂ р₂ + ... + х _nр _n=

Математическое ожидание называют также средним зна­чением случайной величины или центром распределения.

Математическое ожидание (М.О.) обладает следующими свойствами :

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной : М ( С ) = С

Свойство 2. М.О. суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х ₁ +Х₂ +... +Х_n) =М(Х₁ )+М(Х₂) +...+М(Х _n).

Свойство 3. М.О. произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М(Х ₁Х ₂...Х_n)= М(Х₁ )  М(Х₂ )...М(Х_n) .

Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С М(Х)

Свойство5.Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на ве­роятность появления события в одном испытании: M (Х) = np

Математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. Поэтому, наряду с математическим ожида­нием вводят и другие числовые характеристики.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её математического ожидания служат дис­персия и среднее квадратическое отклонение.

Определение 2. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной вели­чины х называют математическое ожидание квадрата откло­нения случайной величины от её математического ожида­ния:

Д(Х) = М [X - М(Х)]² .

На практике для вычисления дисперсии более удобна следующая формула:

Д(Х) = М(Х² ) - [М (Х)]².

Дисперсия обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю: Д(С)=0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

Д (СХ) = С ²  Д(Х)

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

D (Х₁ +Х₂ +...+Х_n) = Д(Х ₁)+Д(Х₂ )+…+Д(Х_n)

Свойство 4. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: Д(Х₁ –Х₂ -...-Х_n)=Д(Х ₁)+Д(Х₂ )+ ...+Д (Х_n )

Свойство 5.Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появ­ления и не появления события в одном испытании:

Д (Х) = npq

Определение 3. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дис­персии:

§3. Функция дискретных случайных величин.

Под функцией f(x) случайной величины Х напоминают такую случайную величину У, которая принимает значение у=f(x) каждый раз, когда величина Х принимает значение х. Аналогично вводится понятие функции от нескольких слу­чайных величин, причем предполагается , что рассматри­ваемая функция определена для всех возможных значений аргументов.

Пусть известен закон распределения дискретной случайной величины Х.

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Закон распределения функции У = f(x) от дискретной случайной величины Х в предположении, что различным значениям Х_i соответствуют различные значения f(x_i ) имеет вид:

Y	f(x1)	f(x2)	…	f(xn)
p	p1	p2		pn

так как величина У примет значение f(x _i) тогда и только тогда, когда величина Х примет значение x_i, поэ­тому вероятности этих событий равны:

Р(У=f(x₁ )) = P(X=x₁ )=P_i ; i=1,2, ...,n

Если при различных значениях Х_i получаются одинако­вые значения f(x₁) , то необходимо применять теорему сложения вероятностей.

Х	х1	х2	х3
р	р1	р2	р3

Y	Y1	Y2
p1	p1’	p’2

то закон распределения случайной величины Z=X+У бу­дет иметь вид:

Z	x1+y1	x2+y1	x3+y1	x1+y2	x2+y2	x3+y2
P’’	p1p’1	p2  p’1	p3p’1	p1 p’2	p2 p2’	p3p’2

то есть значения случайных величин необходимо сло­жить, а соответствующие вероятности перемножить.

Решение задач:

Задача 1. Дан перечень возможных значений дискрет­ной случайной величины Х:

Х₁ =1, Х ₂ =2, Х ₃ =3, а также известны математические ожидания этой вели­чины и её квадрата;

М(Х) = 2,3; М(Х² )=5,9.

Найти вероятности, соответствующие возможным значе­ниям X и дисперсию Д(Х).

Решение: Так как М(Х)=х₁р₁ + x₂ р₂ + х₃ р₃ ;

получим

Из (1) и (2) уравнений вычтем (3), тогда:

подставим во второе уравнение найдем р₃.

тогда

р₂=0,3

Теперь можно записать закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х	1	2	3
Р	0,2	0,3	0,5

Контроль:0,2+0,3+0,5=1

Задача 2. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х- числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

Решение. Дискретная случайная величина Х число нестандартных деталей среди двух отобранных будет иметь следующие возможные значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2. Найдем вероятности с которыми Х принимает эти значения:

Запишем закон распределения для дискретной случайной величины Х:

Х	0	1	2
Р

Для нахождения дисперсии, составим закон распределения для Х²:

Х2	0	1	4
Р

Дисперсию найдем по формуле:

Ответ:

Задача 3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и У

Х	1	2	6
Р	0,1	0,2	0,7

У	5	3
Р	0,5	0,5

Найти М(2Х-3У) и Д(2Х-3У) двумя способами:

а) пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии;

б)составим закон распределения для Z=2Х-3У.

Решение: 1 способ:

М(2Х-3У)= М(2Х)-М(3У)= 2М(Х)-3М(У);

Найдем М(Х) и М(У):

Тогда М(2Х-3У)=2 5,2-3  4=-1,6

Найдем  М(Х²)=4 0,1+16 0,2+36 0,7=28,8

М(У²)=25  0,5 + 9  0,5=17:

Дисперсия Д(2Х-3У)=Д(2Х)+Д(3У)=4 Д(Х)+9Д(У).

Найдем Д(Х) и Д(У):

Тогда

II.Составим закон распределения для функции

Z=2X-3Y.

Z	22-35	22-33	42-35	42-33	62-35	62-33
P	0,10,5	0,10,5	0,20,5	0,20,5	0,70,5	0,70,5

или

Z	-11	-6	-7	-1	-3	3
P	0,05	0,05	0,1	0,1	0,35	0,35

Составим закон распределения Z²:

Z2	121	25	49	1	9	9
P	0,05	0,05	0,1	0,1	0,35	0,35

Найдем M(Z) b M(Z²):