Вопросы для самопроверки.

1. Испытания и события.

2. Виды случайных величин

3. Классическое определение вероятности.

4. Основные формулы комбинаторики.

5. Относительная частота. Статистическая вероятность.

6. Геометрическая вероятность.

7. Сумма и произведение событий.

8. Несовместные события. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

9. Полная группа событий.

10. Противоположные события.

11. Независимые события. Теорема умножения вероятностей для независимых событий.

12. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.

13. Вероятность появления хотя бы одного события..

14. Совместные события. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

15. Формула полной вероятности.

16. Вероятности гипотез. Формулы Бейеса.

17. Формула Бернулли.

18. Локальная теорема Лапласа.

19. Интегральная теорема Лапласа

20. Формула Пуассона.

21. Простейший поток событий.

22. Наивероятнейшее число появлений события.

23. Вероятность отклонения относительной частоты от пос тоянной вероятности в независимых испытаниях.

Случайные величины.

§ 1.Дискретные случайные величины. Законы распределения вероятностей. Биномиальный закон распределения.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значе­ние, наперед не известное и зависящее от случайных при­чин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита -Х,У,Z,..., а их возможные значения обозначаются соответствующими малыми буквами х,у,z,....

Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться в практике можно выделить два основных ти­па: дискретные величины и непрерывные величины.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной вели­чины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного про­межутка.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возмож­ными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Закон распределения может быть задан таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая их вероятности:

Х	Х1	Х2	…	Х n
Р	р1	р2	…	pn

где

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

или с помощью интегральной функции F(x)=P(X<x).

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для этого в прямоугольной системе координат ст-роят точки (Х_i,P_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Получен­ную фигуру называют многоугольникoм распределения.

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х- числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р ; вероятность воз­можного значения Х=k (числа k появлений события) вычис­ляют по формуле Бернулли:

Р_n (k) = C p ^k q^n-k

Если число испытаний велико, а вероятность появления события p в каждом испытании очень мала, то пользуются приближенной формулой Пуассона:

где k- число появлений события в n испытаниях, ( -среднее число появлений события в n испытаниях).

Решение задач:

Задача 1.В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х- числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и пост­роить многоугольник полученного распределения.

Решение:

Дискретная случайная величина Х- число нестандартных деталей среди 4-х отобранных будет иметь следующие воз­можные значения:0,1,2,3,4.

Вероятность появления нестандартной детали будет равна:

Тогда

Для определения вероятностей возможных значении Х применим формулу Бернулли

Р_n (k) = C p ^k q^n-k

Напишем искомый биномиальный закон распределения диск­ретной случайной величины Х:

Х	0	1	2	3	4
p	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Контроль: 0,6561+0,2916+0,0486+0,0036+0,0001=1.

П остроим многоугольник полученного распределения.

Задача 2. На косметическую фирму поступили товары в шести коробках, из которых четыре признаны стандартны­ми. Наудачу отобраны три коробки. Составить закон распреде­ления дискретной случайной величины Х- число стандартных коробок среди отобранных.

Решение:

Случайная величина Х- число стандартных коробок сре­ди отобранных трех имеет следующие возможные значения: Х₁ =0; Х ₂=1; Х ₃=2, Х₄ =3.

Найдем соответствующие этим возможным значениям вероятности.

Р(Х=0)=0; Это событие невозможное и вероятность равна 0, так как стандартных коробок 4, а взято 3, поэтому хотя бы одна коробка будет стандартной.

Составим искомый закон распределения:

Х	0	1	2	3
Р	0	0,2	0,6	0,2

Контроль: 0+0,2+0,6+0,2 = 1.

Задача 3. Устройство состоит из 1000 элементов, ра­ботающих независимо один от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут: а) ровно 3 эле­мента; б) менее трех; в) более трех; г)хотя бы один элемент.

Решение: По условию n=1000, p=0,002; R=3. Устройство состоит из независимо работающих элементов, число n-велико, а вероятность p мала, поэтому применим закон Пуассона

а) Найдем = n p =1000  0,002 = 2;

б) Найдем вероятность, что за время Т откажет менее 3 элементов:

Р₁₀₀₀ (К<3)=P₁₀₀₀ (К=0) + P₁₀₀₀ (К=1)+ P₁₀₀₀ (К=2)=

=

в) Найдем вероятность того, что за время Т откажут более трех элементов: события "откажут более трех элементов" и "откажут не более трех элементов" противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице, т.е.

Р₁₀₀₀ (К>3) + P₁₀₀₀ (К 3)=1; Отсюда Р ₁₀₀₀(К>3)=

1-P₁₀₀₀ (К 3) =

= 1 - [P₁₀₀₀ (0)+P₁₀₀₀ (1)+ P₁₀₀₀ (2)+P₁₀₀₀ (3)]=

= 1 - (0,68 + 0,18)=1 - 0,84 = 0,14.

г) Найдем вероятность , что за время Т откажет хотя бы один элемент:

Задача 4. Среднее число вызовов поступающих на фирму «Казахтелеком» в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит:

а) 4 вызова; б)менее 4-х вызовов; в)не менее 4-х вызовов; Поток вызовов предполагается простейшим.

Решение. По условию  =3, t=2 мин; К=4. Применим формулу Пуассона для простейшего события:

а) Вероятность того, что за 2 минуты равно 4 вызова

б) Событие поступило менее четырех вызовов произой­дет, если наступит одно из следующих несовместных собы­тий:

1. поступило 3 вызова;

2. поступило 2 вызова;

3)поступил один вызов;

4)не поступило ни одного вызо­ва. Эти события несовместны, поэтому

Р₂ (К<4)=P₂(3)+P₂(2)+P₂(1)+P₂(0)= =

в)События "поступило менее четырех вызовов" и "пос­тупило не менее четырех вызовов" противоположны, поэто­му вероятность того, что за 2 минуты поступит не менее четырех вызовов. Р(К4)=1-P(К<4)= 1-0,1525 = 0,8475

Задача 5. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002.Найдите закон распределения случай­ной величины х, равной числу поврежденных изделий, и найдите вероятности следующих событий:

А- повреждено менее 3 изделий;

В- повреждено более 2 изделий;

С- повреждено хотя бы одно изделие.

Решение. Возможные значения х: 0,1,2,...,500; так как n=500 велико, а p=0,002 мало, то, положив =5000,002=1, вычислим вероятности p_к = p (x=К)

приближенно по формуле Пуассона.

Закон распределения случайной величины х приближен­но имеет вид:

хк	0	1	2	3	…	500
рк					…

или

хк	0	1	2	3	…	500
р	0,368	0,368	0,184	0,061	…	0,000

­Используя полученную таблицу, находим вероятности событий А,В, и С.

p(A) = p(x<3) = ({0,1,2})=0,368+0,368+0,184= 0,92;

p(В) =p(x>2)=1-p(x2)=1-p({0,1,2})=0,08;

p(C)=p(x1)=1-p(x0)=1-p({0}) =1-0,368=0,632.