§ 5. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p(o<p<0). Найдем вероятность того, что отклонение m/n относительной частоты от постоянной вероятности p по абсолютной величине не превосходит заданного положи­тельного числа , т.е. найдем вероятность неравенства: .

В силу различных выкладок (см. Гмурман В.Е. "Теория вероятностей и математическая статистика" 1977г. Москва "Высшая школа") получим, что искомая вероятность равна удвоенной функции Лапласа т.е.

Задача 5. Вероятность того, что изделие имеет отклонение от стандарта равна 0,1.Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота отклонится от вероятности p=0,1 по абсолютной величине не более, чем на 0,03.

Решение: По условию n=400;p=0,1;q=0,9; =0,03.Надо найти вероятность

Для решения задачи воспользуемся формулой: . Подставим данные задачи и получим

По таблице 2 находим . Следовательно,

Смысл полученного результата таков: при взятии большого числа проб по 400 деталей в каждой, примерно в 95 % этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности p=0,1 не превысит по абсолютной величине 0,03.

§ 6. Распределение Пуассона. Простейший поток событий.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p.

Для определения вероятности k появлений события в в этих испытаниях использую формулу Бернулли. Если n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эти формулы непригодны, если вероятность события мала (p0,1).В таких случаях, когда n велико, а p мало, пользуются асимптотической формулой Пуассона.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (p мало) событий.

Одним из основных понятий массового обслуживания и надежности является понятие простейшего (Пуассоновского) потока событий.

§ 7. Простейший поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт скорой медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и многие другие.

Среди свойств ,которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Интенсивностью потока  называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления К событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона:

Значения и Р_n (k) находят по таблицам (см. приложение 3 и 4).

Задача 6. Радиоустройство содержит 500 элементов. Вероятность отказа любого из них в течение срока службы равна 0,006.Найти вероятность того, что в течение срока службы устройства откажут ровно 2 элемента.

Решение: Число элементов велико (n=500), а вероятность отказа в течение срока службы мала (p=0,006), следовательно искомую вероятность находим по формуле Пуассона:

Найдем

Задача 7. Среднее число заказов такси, поступающее на диспетчерский пункт за 1 минуту равно трем. Найти вероятность того, что за две минуты поступит: а)четыре вы­зова; б)менее четырех вызовов; в)не менее четырех вызо­вов.

Решение: Из условия задачи известно число вызо­вов, поступающих за одну минуту, следовательно задана ин­тенсивность потока событий .

Для решения задачи воспользуемся формулой Пуассона для простейшего потока событий.

В нашем случае  =3, t=2.

а)Число вызовов ,поступающих за две минуты k=4, тогда искомая вероятность равна:

б)Событие "поступило менее четырех вызовов" будет суммой несовместных событий: "поступило три вызо­ва", "поступило два вызова", "поступил один вызов" и "не поступило вызовов".

По теореме сложения вероятностей несовместных собы­тий имеем:

в)События "поступило менее четырех вызовов" и "пос­тупило не менее четырех вызовов" противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за две минуты поступит не менее четырех вызовов равна :

З А Д А Ч И

1.Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Ответ: а) 0,2916; б) 0,6561

2.В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 5 во­локон длинных окажется :а)три; б)не более двух.

Ответ: а)0,2048 ; б)0,05792

3. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми ,найти вероятность того, что среди шести но­ворожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.

Ответ: а)15/64; б) 11/32.

4. В некотором водоеме карпы составляют 80%. Найти вероятность того, что из 5 выловленных в этом водоеме рыб окажется: а)4 карпа; б) не менее 4 карпов.

Ответ: а) 0,4096 ; б)0,7373.

5.Прибор состоит из 4 узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от другого. Найти веро­ятность того, что за смену откажут: а)два узла; б) не менее двух узлов.

Ответ: а) 0,1536; б) 0,1808.

6. Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41 размера, равна 0,2.Найти вероятность того, что из пя­ти первых покупателей обувь этого размера будет необхо­дима :а) одному; б) по крайней мере одному.

Ответ: а) 0,4096; б) 0,6723

7.Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9.Какова вероятностей того, что среди 10 деталей ока­жется не более одной нестандартной ?

Ответ:0,6011.

8.Вероятность того, что пассажир опоздает к отправ­лению поезда, равна 0,02.Найти наивероятнейшее число опоздавших из 856 пассажиров .

Ответ: 17.

9. Оптовая база обслуживает 12 магазинов. От каждого из них заявка на товары на следующий день может посту­пить с вероятностью 0,3.Найти наивероятнейшее число за­явок на следующий день и вероятность получения базой такого числа заявок.

Ответ: 3 ; 0,2397

10.Вероятность того, что денежный автомат при опус­кании одной монеты сработает неправильно, равна 0,03. Найти наивероятнейшее число случаев правильной ра­боты автомата, если будет опущено 150 монет.

Ответ: 146.

11.Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,05.Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наивероятнейшее число нестандартных деталей в ней было равно 63 ?

Ответ: 1269<n<1279.

12. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,1.Какова вероятность того, что лицо имевшее шесть билетов:

а) выиграет по двум билетам;

б) выиграет по трем билетам;

в) не выиграет ни по одному билету ?

Ответ: a) 0,0984; б) 0,0146; в) 0,9999.

13.Было посажено 400 деревьев. Найти вероятность то­го, что число приживающихся деревьев равна 250, если ве­роятность того, что отдельное дерево приживается равно 0,8.

Ответ:0, 0000125.

14.Стрелок поражает цель с вероятностью 0,7.Какова вероятность ,что при 40 выстрелах он поразит цель 32 раза, при 25 выстрелах-20 раз ?.

Ответ: 0,053; 0,094 ;

15.Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется стандартным, равна 0,9. Какова вероятность, что среди 100 отобранных случайным образом изделий 85 ока­жутся стандартными ?.

Ответ:0,0332.

16.На производстве на каждые 100 изделий приходится в среднем 80 изделий первого сорта. Случайным образом отбирают 45 изделий. Какова вероятность того, что среди них 38 изделий первого сорта ?

Ответ: 0,113.

17.Для экспериментальной проверки закона больших чисел были произведены следующие опыты:

а) Монета была брошена 4040 раз, герб выпал 2048 раз.

б)Монет была брошена 12 000 раз. Частость появления герба оказалась равной 0,5016.

найти вероятность указанных результатов при повто­рении каждого из опытов ?.

Ответ: а) 0,008 ; б) 0,072 ;

18.Вероятнгость рождения мальчика 0,515.Какова ве­роятность, что среди 1000 новорожденных число мальчиков на 3 % (от общего числа новорожденных) больше числа де­вочек?

Ответ: 0,025

19.Какова вероятность, что при 60 бросаниях монеты число появлений герба отклонится от наивероятнейшего числа на 4 ?

Ответ: 0,06

20. Вероятность некоторого события при отдельном испытании равна 0,2. Производится 100 испыта­ний. Сколько раз наступило это событие, если вероятность этого числа появлений оказалось равной 0,1826.

Ответ: 25 ; 23 ;

21.Вероятность того, что взятая наудачу электри­ческая лампочка, изготовленная некотором заводом, окажет­ся стандартной (прогорит не менее 1000 часов) равна 0,8.Производится случайная выборка, состоящая из 100 лампочек. Какова вероятность , что стандартных среди них окажется не менее 70 и не более 90 ?.

Ответ: 0,99.

22.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75.Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не более 70 раз.

Ответ:0,6025

23.Школа принимает в первые классы 200 детей. Определить вероятность того, что среди них девочек ока­жется более 100,если вероятности рождения мальчика и девочки равны.

Ответ:0,4999.

24.При штамповке клемм получается в среднем 90 % годных. Найти вероятность того, что среди 900 клемм год­ных окажется: а)ровно 810;б)от 790 до 820 включительно.

Ответ: а) 0, 0443; б) 0,8504.

25.Всхожесть семян данного сорта составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700.

Ответ:0,8642.

26.Семена содержат 0,1 % сорняков. Какова вероят­ность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 се­мян сорняков ?

Ответ:0,0361.

27.Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 3 бракованных.

Ответ:0,1954

28.Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении часа равна 0,002.Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента.

Ответ:0,0902.

29.Книга издана тиражом в 50 000 экземпляров. Веро­ятность того, что в книге имеется дефект брошюровки рав­на 0,0001.Найти вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.

Ответ:0,1755.

30.Вероятность выживания бактерий после радиоактив­ного облучения равна 0,004.Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 3 бактерий.

Ответ:0,3233

31.Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002.Найти вероят­ность того, что в пути будет повреждено:

а) 3 изделия ; б)менее 3 изделий ; в)хотя бы одно изделие .

Ответ: а)0,0613 ; б) 0,9197 ; в) 0,632 .

32.Доля пар обуви с дефектом в поступившей в мага­зин партии обуви составляет 0,01.Определить вероятность того, что из 4 отобранных случайным образом пар обуви 3 пары не будут иметь дефектов.

Ответ: 0,29.

33.В магазин в среднем заходят 2 человека в мину­ту. Найти вероятность того, что за 1,5 минуты в магазин войдет: а)не менее 2-х покупателей; б)ровна 4;в) не бо­лее одного покупателя.

Ответ: а) 0,8008; б)0, 168; в) 0,1992.

34.Магазин получил 2000 бутылок минеральной во­ды. Предусмотренный процент боя бутылок при перевозке составляет 0,3.Найти вероятность того, что магазин полу­чит:

а) ровно три разбитых бутылки;

б) более трех;

в) хотя бы одну разбитую бутылку;

Ответ: а) 0,0892; б) 0,8488; в) 0,9975.

35.Производство дает 20 % брака. Произведено 400 из­делий. Найти вероятность того, что относительная частота появления годного изделия отклонится от вероятности его изготовления не более чем на 0,09.

Ответ:0, 9998

36.Вероятность попадания в мишень равна 0,3.Сколько нужно произвести выстрелов для того, чтобы с вероят­ностью 0,986 отклонение относительной частоты от веро­ятности p=0,3, не превысило 0,02 ?

Ответ: 3151

37. С конвейера сходит в среднем 80 % изделий пер­вого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,996.Отклонение относительной частоты из­делий первого сорта в них от вероятности p=0,8 по абсо­лютной величине не превосходило 0,02 ?

Ответ:3318

38.Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность обрыва нити на 5 верете­нах в течение одной минуты.

Ответ:0,1563

39.Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно 4.Найти вероятность того, что за две мину­ты поступит: а)6 вызовов; б)менее 6 вызовов; в)не менее 6 вызовов.

Ответ: а) 0,1221; б) 0,1911; в) 0,8089.

40.Поток пассажиров в билетную кассу составляет 4 человека за 10 минут. Найти вероятность того, что за 5 минут к кассе подойдут:

а)3 пассажира;

б)не менее 2-х пассажиров;

в)не более одного пассажира.

Ответ: а)0,1804; б) 0,594; в) 0,406.

41.Среднее число машин подъезжающих к перекрестку за 1 минуту, равно 6. Найти вероятность того, что за 0,5 минуты подъедет: а)2 машины; б) не менее одной машины ; в) не более трех машин.

Ответ: а) 0,224; б) 0,9501; в) 0,6472.

42.Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течении часа равна 0,01. Телефонная стан­ция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность ,что в течении часа позвонят 5 абонентов.

Ответ: 0,0916.

43.На телефонную станцию в течение определенного часа дня поступает в среднем 30 вызовов. Найти вероят­ность того, что в течение минуты поступает не более двух вызовов.

Ответ: 0,98.

44.Вероятность того, что выписанный продавцом чек будет оплачен покупателем, равна 0,9.Продавец выписал 12 чеков. Найти наиболее вероятное число оплаченных че­ков и вычислить его вероятность.

Ответ: m₀=10, P=0,287

45.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0,8.Сколько нужно произвести выстре­лов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20 Ответ: 24; 25.

46.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух, если число выстрелов равно 5000.

Ответ:0,0842.

47.Вероятность появления пары обуви с дефектом в данной партии обуви составляет 0,1.Определить вероят­ность того, что среди 200 отобранных случайным образом пар обуви будут иметь дефект: а)ровно 13 пар обуви ; б)от 4 до 7 пар обуви.

Ответ:a) 0,024; b) 0,9984;

48.На склад поступила партия изделий. Известно, что производство выпускает в среднем

80 % продукции 1 сор­та. Случайным образом отбирается 5 изделий. Какова веро­ятность, что среди них не менее 3-х изделий 1 сорта ?

Ответ:0,9478

49.Вероятность попадания в цель при одном выстреле постоянна и равна 0,8.Определить вероятность того, что в серии из 225 выстрелов окажется:

а) ровно 189 попаданий ;

б) от 174 до 183 попаданий.

Ответ:a) 0,0216; b) 0,5328.

50.При данном технологическом процессе в среднем 98% изделий не имеет дефектов. Определить вероятность того, что среди 10 000 выбранных наугад и проверенных изделий дефектными окажутся: а)ровно 127 изделий; б) от 172 до 214 изделий.

Ответ: a) 0,00007; b) 0.

51.На некотором заводе нестандартная продукция сос­тавляет в среднем 2 %. Проверяется случайным образом отобранная партия изделий, состоящая из 100 единиц. Если среди них окажется 11 или более нестандартных изде­лий, вся партия бракуется .Найти вероятность того, что: а) в партии окажется 4 бракованных изделия ;

б) партия изделий будет принята.

Ответ: а) 0,0146; б) 0,5396.

52.Вероятность появления изделия с дефектом в дан­ной партии стаканов из хрусталя составляет 0,2.Опреде­лить вероятность того, что среди 400 отобранных наугад стаканов имеют дефект:

а) ровно 84 стакана;

б) от 76 до 88 стаканов.

Ответ: а) 0,03025; б) 0,5328.

53.Товаровед случайным образом отбирает 5 фасовок товара. Вероятность того, что отдельная фасовка в этой партии товара не имеет дефекта-0,8.Найти наивероятней­шее число бездефектных фасовок среди пяти отобранных фасовок и вычислить соответствующую этому событию веро­ятность.

Ответ:0, 4096.