Карагандинский

экономический университет

Казпотребсоюза

Кафедра высшей математики

Быстрая подготовка

к экзамену

учебное пособие

раздел: «Теория вероятностей

и математическая статистика»

Караганда - 2000

В В Е Д Е Н И Е

Математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного экономиста.

В настоящее время ощущается нехватка учебных пособий по математическим дисциплинам. Особенно это сказывается на студентах, обучающихся в вузе без отрыва от производства.

Пособие написано в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов в области математики для специалистов с высшим образованием по экономическим специальностям. Оно включает следующие разделы: «Случайные события», «Случайные величины», «Элементы математической статистики».

В начале каждого параграфа приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач. В конце темы даны задачи для самостоятельного решения.

Цель методических указаний в системе подготовки экономических кадров - развитие и закрепление навыков в решении типовых задач, освоение необходимого математического аппарата, в освоении приемов исследования и решения математических формализованных задач.

Для лучшего понимания курса теории вероятностей и математической статистики, областей практического применения и доходчивости изложения материала , задачи по возможности , подобраны с учетом специфики экономических специальностей.

Данное пособие составлено в помощь студентам для выполнения самостоятельной и индивидуальной работы.

1. Основные понятия теории вероятностей.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и многих других целей.

В последние годы методы теории вероятностей все шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

§ 1. Испытания и события. Виды случайных событий.

Испытание - осуществление определенной совокупности условий.

Событие - результат испытания.

Событием называется явление, о котором имеет смысл говорить , что оно произошло или не произошло (происходит или не происходит, произойдет или не произойдет).

События подразделяют на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным - называется событие, которое обязательно произойдет при данном испытании.

Например, если в коробке белые пуговицы, то извлечение из коробки белой пуговицы - событие достоверное.

Невозможным - называется событие, которое не произойдет при данном испытании.

Например , если в коробке белые пуговицы, то извлечение из коробки черной пуговицы - событие невозможное.

Случайным - называется событие , которое может как произойти, так и не произойти при данном испытании.

Например, появление герба или решки при бросании монеты – события случайные.

Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита А,В,С,..., достоверные буквой U, а невозможные буквой V.

Совместные события это события, для которых наступление одного из них не исключает возможности наступления других при данном испытании.

Например, производится по цели выстрел из трех орудий. Ясно, что не исключена возможность попадания в цель из всех трех орудий. Следовательно, эти три события совместные.

Несовместные события -события, для которых наступление одного из них исключает наступление других в одном и том же испытании.

Например, при бросании монеты выпадение герба исключает возможность появления решки.

Равновозможные события - это события, для которых ни одно не является более возможным, чем другие в данном испытании.

Единственно возможные события - это события, если при испытании обязательно наступит хотя бы одно из них.

Например, в коробке желтые, черные и красные карандаши. Извлекаем из коробки карандаш, он может оказаться желтым (событие А), черным (событие В) или красным (событие С). По определению эти три события А,В,С - единственно возможные. События А₁ ,А₂ ,...,А_n единственно возможные и несовместные называются полной группой событий. Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными

событиями.

Событие, противоположное событию А, обозначают через .

Суммой нескольких событий А₁ ,А₂ ,...,А_n называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из них:

Произведением (пересечением) нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий:

Понятия "сумма" и "произведение" событий по существу своему отличаются от числовых сумм и произведений, по некоторыми свойствами таких сумм и произведений обладают, например, А+В= В+А, в то же время А + А = А .

Рассмотрим геометрическую интерпретацию понятий суммы и произведения событий. Если обозначить через А событие-попадание точки в область (А), через В событие­ попадание точки в область (В), через С событие ­попадание в область (С), то А + В + С событие ­попадание в область, заштрихованную на рис.1а, (объединение областей). АВС событие - попадание в область ,заштрихованную на рис. 1б,(пересечение областей).

а ) б)

а)А + В + С АВС

рис. 1

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1.Испытание - бросание одной монеты. Событие А - выпадение цифры, В - выпадение герба. Ясно, что события А и В не могут появиться одновременно при одном бросании монеты и поэтому являются несовместными, равновозможными, единственно возможными исходами испытания, образуют полную группу и являются противоположными.

Пример 2. В продаже имеются электрические бритвы, часть которых изготовлена на 1 заводе, часть на 2 заводе, часть на 3 заводе. Испытание - покупается электрическая бритва. События: А - куплена бритва, изготовленная на 1 заводе , В - куплена бритва, изготовленная на 2 заводе, С- куплена бритва, изготовленная на 3 заводе. Ясно, что при одном испытании события А,В,С -несовместные, образуют полную группу, так как обязательно будет куплена бритва, изготовленная только на одном из этих заводов.

Пример 3. Испытание - бросание одной игральной кости. События: А₁ - выпадение на верхней грани 1 очка, А₂ - выпадение 2-х очков, А₃ - выпадение 3-х очков, А₄- выпадение 4-х очков ,А₅ - выпадение 5 очков, А₆ - выпадение 6 очков. Эти события представляют все элементарные исходы испытания. Любой другой исход испытания является составным, его можно представить в виде комбинации элементарных событий. Например, события: В- появление нечетного числа очков (В = А₁+ А₃ + А₅ ), С - более 4-х очков (С=А₅+А₆ ),

Д- не менее трех очков (Д=А₃ + А₄ + А₅ + А₆).

Пример 4. Испытание - производится три выстрела по мишени. Элементарные исходы этого испытания: А_i -попадание при i -ом выстреле (i = 1,2,3), - промах при

i -ом выстреле (i = 1,2,3). Тогда сложное событие В произошло только одно попадание мишень, равно:

Событие Д - два попадания в мишень

Событие Е - два попадания, причем одно из попаданий произошло при втором выстреле:

Событие F - не более одного попадания (или менее двух попаданий)

.

Событие С - попадание в мишень не раньше третьего выстрела.-