6. Свойства чётности и не чётности , периодичности функции.

Ответ :

Свойства четности и периодичности

Рассмотрим подробнее свойства четности и периодичности, на примере основных тригонометрических функций: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, тригонометрическая функция y=cos(x) является четной.

Свойства нечетности и периодичности

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.

Например, тригонометрические функции y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) являются нечетными.

Периодичность тригонометрических функций

 

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

6. Предел функции в точке . Бесконечно малые и бесконечно большие функции ,связь между ними

Ответ :

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция  при стремлении её аргумента к данной точке.

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой. Теорема. Если f(x) ->0 при х -> а (если х ->беск. ) и не обращается в ноль, то y = 1/f(x) ->беск.

14 непрерывность функции в точке и на промежутке . Свойства непрерывных функций . Точки разрыва .

Ответ :

функция непрерывна в точке, если она в этой точке определена и пределы справа и слева существуют и равны значению в этой точке.

Теорема. Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то в этой же точке непрерывны и функции f(x)  g(x), f(x)  g(x) и f(x)/g(x) (последнее только в случае, если g(x₀)0).

Точка   называется точкой разрыва функции  , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки   (то есть определена на некотором интервале, для которого   служит внутренней точкой, но в самой точке  , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) не существует предела слева  ;

2) не существует предела справа  ;

3) пределы слева   и справа   существуют, но не равны друг другу:  ;

4) пределы слева   и справа   существуют и равны друг другу:  , но не совпадают со значением функции в точке  :  , или функция   не определена в точке  .

Определение. Пусть y = f(x) и x = (t). Тогда комбинация y = f((t)) называется суперпозицией функций f(x) и (t), или сложной функции

15. Основные теоремы о пределах , следствия из них.

Ответ :

Теорема (о пределе суммы). Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций.

.

Следствие. Предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

.

Теорема (о пределе произведения). Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.

.

Следствие. Постоянный множитель может быть вынесен из-под знака предела.

.

Следствие. Предел степени равен степени предела.

.

Теорема (о пределе частного). Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен нулю.

, при g(x)0 и .

Теорема (о пределе промежуточной функции). Если и в некоторой окрестности точки а (быть может, кроме точки а) имеют место неравенства , то .

Теорема. Функция f не может иметь двух различных пределов при ха.

15. Вычисление предела функции в точке . Правила раскрытия неопределённости вида %

Ответ :

Вычисление пределов функций основано на применении следующих основных теорем:

ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций , то есть

ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть

15. Предел функции в бесконечности.

Ответ :