3. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости - хотя бы один из векторов представим в виде линейной комбинации остальных.

Доказательство.

Необходимость. Пусть векторы являются линейно зависимыми, то есть существуют такие действительные числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация векторов с этими числами равна нулевому вектору

Пусть для определенности именно Тогда, умножая обе части равенства на получим

или

Достаточность. Если

то

Это означает, что векторы линейно зависимы.

30. Базис линейного пространства. Координаты вектора относительно базиса. Действия над векторами в координатной форме. Базис линейного пространства

Упорядоченный набор линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства , если каждый вектор представим в виде их линейной комбинации

Числа называются координатами вектора относительно рассматриваемого базиса.

Пример. В пространстве векторы

образуют базис, так как

1. векторы линейно независимы, их линейная комбинация

равна лишь когда

2. произвольный вектор представим в виде

Теорема 1.

Координаты вектора относительно любого базиса определяются единственным способом.

Доказательство. Пусть для некоторого вектора наряду с разложением

существует еще и другое разложение по тому же базису

Тогда , почленно вычитая два равенства, получаем

Базисные векторы линейно независимы, поэтому а тогда разложение по базису вектора единственно.

Основное значение базиса – операции над векторами, определенные абстрактно, становятся операциями над числами (координатами).

Теорема 2 (Действия над векторами в координатной форме)

При сложении векторов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса) складываются, при умножении на число - умножаются на это число.

Доказательство. Пусть некоторый базис линейного пространства,

Тогда

31. Размерность линейного пространства. Связь между числом векторов в базисе линейного пространства и его размерностью Размерность линейного пространства

Если в линейном пространстве есть линейно независимых векторов, а любые – линейно зависимы, то называется размерностью линейного пространства. Обозначение

Другими словами, размерность пространства равна максимальному числу линейно независимых векторов в линейном пространстве.

Линейное пространство, в котором существует сколь угодно большое число линейно независимых векторов , называется бесконечномерным.

Теорема 3.

В мерном линейном пространстве существует базис из векторов. Любая совокупность из линейно независимых векторов является базисом линейного пространства.

Теорема 4.

Если в линейном пространстве существует базис, состоящий из векторов, то размерность линейного пространства равна - числу базисных векторов.