Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Квадратичная форма

имеет канонический вид, если все

Следовательно, каноническая квадратичная форма имеет вид

а ее матрица имеет диагональный вид.

Каноническая форма называется нормальной, если каждый ее коэффициент, отличный от нуля, по абсолютной величине равен 1. Например, квадратичная форма

является нормальной.

Нахождение по данной квадратичной форме конгруэнтной ей канонической квадратичной формы называется приведением квадратичной формы к каноническому виду.

Теорема 1. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду.

(доказательство методом математической индукции).

Доказательство теоремы дает практический способ приведения квадратичной формы к каноническому виду – метод Лагранжа.

Пример 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Пример 5. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Теорема 2. (Закон инерции квадратичных форм)

Все квадратичные формы, конгруэнтные данной, имеют 1) одно и тоже число нулевых коэффициентов; 2) одно и тоже число положительных коэффициентов; 3) одно и тоже число отрицательных коэффициентов. (Без доказательства)

Следствие. Любая квадратичная форма имеет единственную конгруэнтную нормальную форму.

Знакоопределенные квадратичные формы

Для нулевого набора переменных

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любого ненулевого набора переменных выполняется и отрицательно определенной, если для любого ненулевого набора верно

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются знакоопределенными.

Квадратичная форма называется знакопеременной, если существуют наборы переменных, для которых она принимает значения разных знаков.

Пример 6. Квадратичная форма является положительно определенной; - отрицательно определенная;

- знакопеременная, так как квадратичная форма не является ни знакоопределенной, ни знакопеременной.

Теорема 3.

Знакоопределенная квадратичная форма является невырожденной.

Теорема 4.

Если квадратичная форма является знакоопределенной, то любая конгруэнтная ей форма так же является знакоопределенной.

Теорема 5.

Для того чтобы каноническая квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее коэффициенты были положительны.

Для того чтобы каноническая квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее коэффициенты были отрицательны.

Главным минором го порядка матрицы

Называется минор матрицы го порядка, расположенный в левом верхнем углу матрицы; Для главных миноров матрицы используют специальные обозначения

Теорема 6 (критерий Сильвестра)

Для того чтобы каноническая квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны.

Для того чтобы каноническая квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы чередовались по знаку, начиная с отрицательного.

Пример 7.

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность

Пример 8. Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность