6. Свойства определителей (доказательство для .

1. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании

Следствие. Любое свойство определителя, относящееся к строкам, справедливо и для столбцов.

2. Общий множитель элементов любой строки определителя можно вынести множителем за знак определителя

3. Если элементы какой-либо строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых в указанной строке у первого стоят первые слагаемые, у второго – вторые слагаемые, а все остальные строки, как у исходного определителя

Следствие. Свойство 3 справедливо в случае любого конечного числа слагаемых.

4. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Если в определителе поменять местами любые две строки, то определитель сменит знак.

6. Если в определителе две одинаковые строки, то определитель равен нулю.

7. Если в определителе элементы двух строк пропорциональны, то определитель равен нулю.

8. Если к элементам одной строки определителя прибавить числа, пропорциональные элементам другой строки определителя, то определитель не изменится.

9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей .

9. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы (с доказательством).

Пусть - квадратная матрица - го порядка. Матрица называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Матрица называется обратной матрицей матрице , если .

Теорема 1 (о существовании обратной матрицы)

Для того, чтобы для матрицы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.

Доказательство.

Необходимость.

Пусть - обратная матрица. Покажем, что - невырожденная. Действительно, по определению обратной матрицы . Следовательно, и по свойству 9 определителей . Тогда .

Достаточность.

Пусть . Вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы и составим из них матрицу

которая называется союзной матрице . Вычислим произведение :

Используя свойства определителей 11 и 12, получаем , следовательно, и . Аналогично можно показать, что . Таким образом, матрица

является обратной матрице .

10. Теорема о единственности обратной матрицы (с доказательством).

Теорема 2 (о единственности обратной матрицы)

Для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная.

Доказательство. Предположим, что для некоторой невырожденной матрицы существует по крайней мере две обратные – матрицы и . Тогда по определению обратной матрицы и . Умножим обе части равенства на матрицу слева, а обе части равенства на матрицу справа. Получим и . По свойствам умножения матриц и , поэтому , что противоречит тому, что матрицы и различны. Следовательно, предположение о существовании матрицы, для которой существует две обратные, не верно, и для каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная.

В силу единственности обратной матрицы ее принято обозначать . Таким образом, по определению , а из теоремы 1 вытекает формула для нахождения обратной матрицы

.

Пример 1

Найти обратную матрицу для матриц 1) ; 2) .

11. Свойства обратной матрицы (с доказательством). Свойства обратной матрицы

1 ..

Доказательство.

Действительно, по определению обратной матрицы , следовательно, обратной для является матрица .

2. .

Доказательство.

Из равенства следует, что Так как для квадратных матриц определитель произведения матриц равен произведению определителей и , то . Так как в случае существования обратной матрицы , то .

3. Если для матриц и существуют обратные, то существует обратная матрица для их произведения .

Доказательство.

Если для матриц и существуют обратные, то . Тогда и матрица является невырожденной, так как . Вычислим произведение

Аналогично

Таким образом, при умножении матрицы справа и слева на получаем единичную матрицу, следовательно, .

Пример 2

Решить матричное уравнение

17. Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы. Перечислить свойства, связанные с линейной зависимостью столбцов. Доказать(по вашему выбору) одно из свойств.

Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матрицы

Пусть

- столбцы матрицы размерности . Линейной комбинацией столбцов матрицы называется матрица-столбец , при этом - некоторые действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Если в линейной комбинации взять все коэффициенты равными нулю, то линейная комбинация равна нулевой матрице-столбцу.

Столбцы матрицы называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю лишь когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю. Столбцы матрицы называются линейно зависимыми, если существует набор чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация столбцов с этими коэффициентами равна нулю

, .

Аналогично могут быть даны определения линейной зависимости и линейной независимости строк матрицы. В дальнейшем все теоремы формулируются для столбцов матрицы.

Теорема 5

Если среди столбцов матрицы есть нулевой, то столбцы матрицы линейно зависимы.

Доказательство. Рассмотрим линейную комбинацию, в которой все коэффициенты равны нулю при всех ненулевых столбцах и единице при нулевом столбце. Она равна нулю, а среди коэффициентов линейной комбинации есть отличный от нуля. Следовательно, столбцы матрицы линейно зависимы.

Теорема 6

Если столбцов матрицы линейно зависимы, то и все столбцов матрицы линейно зависимы.

Доказательство. Будем для определенности считать, что первые столбцов матрицы линейно зависимы. Тогда по определению линейной зависимости существует набор чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация столбцов с этими коэффициентами равна нулю

, .

Составим линейную комбинацию всех столбцов матрицы, включив в нее остальные столбцы с нулевыми коэффициентами

Но . Следовательно, все столбцы матрицы линейно зависимы.

Следствие. Среди линейно независимых столбцов матрицы любые линейно независимы. (Это утверждение легко доказывается методом от противного.)

Теорема 7

Для того чтобы столбцы матрицы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один столбец матрицы был линейной комбинацией остальных.

Доказательство.

Необходимость. Пусть столбцы матрицы линейно зависимы, то есть существует набор чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация столбцов с этими коэффициентами равна нулю

, .

Предположим для определенности, что . Тогда то есть первый столбец есть линейная комбинация остальных.

Достаточность. Пусть хотя бы один столбец матрицы является линейной комбинацией остальных, например, , где - некоторые числа.

Тогда , то есть линейная комбинация столбцов равна нулю, а среди чисел линейной комбинации хотя бы один (при ) отличен от нуля.

Пусть ранг матрицы равен . Любой отличный от нуля минор - го порядка называется базисным. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными.