Раздел 7. Основы линейной алгебры

7.1. Операции с матрицами

Справочный материал:

- транспонирование это операция, меняющая ролями строки и столбцы (для А размером (m*n) транспонированная матрица А^т размером (n*m));

- умножение на число { };

- сложение { };

- умножение , при этом ;

Некоторые свойства операций:

;

;

(в общем случае);

Примеры. Выполнить действия:

а)

;

б) умножение не возможно так, как число столбцов первого множителя не равно числу строк второго множителя;

в)

с₁₁ = 3*1 + (-1)*(-2) + 2*4 = 13,

с₁₂ = 3*3 + (-1)*0 + 2*(-5) = -1,

с₂₁ = 4*1 + 2*(-2) + 0*4 = 0,

с₂₂ = 4*3 + 2*0 + 0*(-5) = 12,

с₃₁ = (-5)*1 + 6*(-2) + 1*4 = -13,

с₃₂ = (-5)*3 + 6*0 + 1*(-5) = -20.

7.2. Определители.

Справочный материал.

Свойства определителей:

- определитель не меняется при транспонировании матрицы;

- определитель меняет значение при перестановке двух строк (столбцов);

- определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю;

- определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю;

- при умножении строки (столбца) на число, определитель умножается на это число;

- при умножении какой-нибудь строки (столбца) на число и прибавлении этой строки (столбца) к другой строке (столбцу) определитель не меняется;

- определитель треугольного вида равен произведению его элементов на главной диагонали, то есть .

Вычисление определителей:

1-го порядка: ;

2-го порядка: ;

3-го порядка:

;

Способ Саррюса (использования формулы определителя третьего порядка):

.

− − − + + +

Примеры. Вычислить определители:

1. ;

2. а) ; б) ;

3. ;

7.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Справочный материал:

- системой линейных алгебраических уравнений называется система вида:

или в матричном виде: ;

- система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае система не совместна;

- методы решения систем уравнений с квадратной матрицей:

а) правило Крамера. Если главный определитель квадратной системы , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

, где

- вспомогательные определители, получаемые из главного определителя заменой j – го столбца столбцом свободных членов.

Если и все , то система имеет бесконечно много решений и если , а хотя бы один из то система не совместна;

б) матричный способ решения основан на преобразованиях:

если определитель матрицы А не равен 0, то из - формула решения;

Примеры.

1. решить систему по правилу Крамера

Тогда

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Раздел 1. Теория пределов функций

1.1. Найти пределы функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Раздел 2. Дифференциальное исчисление

2.1. Исследуйте данную функцию на основе теории пределов и дифференциального исчисления и постройте ее график схематически:

_а) б)