Раздел 3. Интегральное исчисление

3.1. Неопределенный интеграл.

Справочный материал.

Основные свойства интегрирования:

1. ;

2. ;

3.

4. .

Таблица неопределенных интегралов:

Приемы интегрирования:

• непосредственное интегрирование – на основании свойств интегрирования и таблице основных первообразных;

• замена переменной , в частности:

;

• интегрирование по частям ;

• разложение правильной рациональной дроби на простые дроби. Правильная рациональная дробь единственным образом раскладывается на простые дроби вида:

.

Примеры нахождения неопределенных интегралов.

Пример 1: Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Решение: Удобнее переписать его на бумагу.

(1) Применяем правило  . Не забываем записать значок дифференциала   под каждым интегралом. Почему под каждым?   – это полноценный множитель, если расписывать решение совсем детально, то первый шаг следует записать так:

(2) Согласно правилу   выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом   – это константа, её также выносим. Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде  . Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.

Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 2: Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Решение:

(1) Используем старую - добрую формулу квадрата суммы  , избавляясь от степени.

(2) Вносим   в скобку, избавляясь от произведения.

(3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).

(4) Превращаем интегралы по табличной формуле  .

(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь   – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе  ! Не нужно представлять ее в виде  !

Проверка: 

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 3: Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?

Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Пример 4:

Разложим подынтегральную функцию на простые дроби

Сравним числители при:

Тогда

3.2. Определенный интеграл.

Справочный материал:

• формула Ньютона-Лейбница , где F(x) любая первообразная функции ;

• замена переменной интегрирования ;

• интегрирование по частям

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы  . Появившуюся константу   целесообразно отделить от   и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница  . Сначала подставляем в   верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

Пример 2: Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница: СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом:   – первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут   (особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример.

Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, чаще подобные интегралы вычисляют так:

Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?

Так, применительно к рассматриваемому примеру: перед тем, как в первообразную функцию    подставлять верхний и нижний пределы, желательно на черновике проверить, а правильно ли вообще найден неопределенный интеграл? Дифференцируем:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден верно. Теперь можно и формулу Ньютона-Лейбница применить.

Такая проверка будет не лишней при вычислении любого определенного интеграла.

Пример 3:

Пример 4: