Лабораторная работа 2 проверка статистических гипотез

Цель работы — овладение методикой применения статистических критериев для проверки гипотез относительно основных характеристик случайных величин, (среднего значения, дисперсии, функции плотности вероятности), а также ознакомление с основными понятиями статистической теории и методами точечного и интервального оценивания перечисленных характеристик.

Задание: 1. Изучить методические указания к лабораторной работе и материалы

лекций по данной теме.

2. Выполнить лабораторную работу в соответствии с заданием.

3. Оформить отчет о проделанной работе.

Методические указания

При решении многих прикладных задач необходимые вероятностные характеристики соответствующих случайных величин неизвестны исследователю и должны определяться по экспериментальным данным. Такое статистическое описание результатов наблюдений, построение и проверка различных математических моделей, использующих понятие вероятности, составляют основное содержание математической статистики.

1. Основными понятиями статистической теории.

Фундаментальными понятиями статистической теории являются понятия генеральной совокупности и выборки.

Генеральная совокупность обычно интерпретируется как совокупность всех мыслимых (возможных) результатов наблюдении над случайной величиной, которые в принципе могут быть пройдены при данных условиях.

Содержательный смысл этого понятия состоит в том, что предполагается существование некоторых вполне определенных свойств, неслучайных закономерностей, присущих данной совокупности, тех свойств, которые и должны быть выяснены исследователем. Фактически эти свойства являются объективным отображением вероятностных свойств изучаемого объекта, которые могут быть охарактеризованы с помощью соответствующих законов распределения вероятностей или связанных с ними числовых параметров.

Считается, что указанные свойства не изменяются во времени и присущие генеральной совокупности неслучайные закономерности сохраняют постоянным свой характер, т. е. являются устойчивыми.

Выборка — это конечный набор значений случайной величины, полученный в результате наблюдений. Число элементов выборки называется ее объемом. Если, например, х₁, х₂, ..., х_N — наблюдаемые значения случайной величины Х (возможно, и совпадающие), то объем данной выборки равен N.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно полно характеризует генеральную совокупность. Для обеспечения репрезентативности выборки чаще всего используется случайный выбор элементов. Предполагается, что при таком выборе каждая возможная выборка фиксированного объема имеет одну и ту же вероятность выбора, а последовательные наблюдения взаимно независимы.

Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема N, т.е. по некоторой части генеральной совокупности, высказать обоснованное суждение о ее свойствах в целом. Подобное суждение может быть получено путем построения эмпирических (выборочных) аналогов вероятностных характеристик исследуемой величины, иначе говоря, путем оценивания параметров (характеристик) генеральной совокупности с помощью некоторых подходящих функций от результатов наблюдений — оценок.

При многократном извлечении выборок одного и того же объема и последующем нахождении множества оценок одного и того же параметра получаются различные числовые значения этих оценок, изменяющиеся от одной выборки к другой случайным образом. Иными словами, любая оценка произвольного параметра  есть случайная величина.

В этом ее принципиальное отличие от самого оцениваемого параметра , являющегося неслучайным. Чтобы подчеркнуть указанное существенное обстоятельство, для параметров генеральной совокупности и их оценок вводятся разные обозначения: в общем случае оценка произвольного параметра  обозначается через ; оценка математического ожидания (генерального среднего значения) т_х обозначается чаще всего через , оценка дисперсии — через или просто s². Естественно, что вероятностные свойства произвольной оценки параметра  можно описать с помощью функции распределения оценки или ее характеристик .

Для оценивания одного и того же параметра можно использовать в принципе различные оценки. Чтобы выбрать наилучшую из них, необходимо сформулировать некоторые требования к свойствам оценок, желательные с точки зрения практики.

Оценка параметра  называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки N значение с полной мерой достоверности (с вероятностью единица) стремится к своему теоретическому значению . Это означает, что с ростом N распределение все в большей степени концентрируется вокруг . Состоятельность оценки гарантирует исследователю увеличение точности оценивания с ростом N и то, что хотя бы в пределе при N   он может получить точное значение .

Оценка называется несмещенной, если для любого N. Несмещенность означает отсутствие систематической погрешности при оценивании параметра .

Оценка называется эффективной, если среди всех оценок параметра  она обладает наименьшей дисперсией . Эффективная оценка, следовательно, имеет минимальную случайную ошибку и в этом смысле является наиболее точной.

Свойства оценок различных параметров во многом определяются видом закона распределения исследуемой генеральной совокупности. Далее зачастую будем предполагать, что этот закон является нормальным (или гауссовским) с плотностью вероятности, задаваемой формулой

(2.1)

Здесь и — математическое ожидание и дисперсия случайной величины X.