3.4. Комплектование машин в условиях полной неопределенности

Комплектование машин в условиях неопределенности проводится з соответствии с теорией игр и статистических решений с использованием целого комплекса специальных методов оптимизации: метода минимальных потерь, метода минимального риска, метода обобщенного минимакса, метода недостаточного обоснования. Каждый из них имеет свои преиму­щества и недостатки. Рассмотрим комплектование машин различными ме­тодами - оптимизации на конкретном примере.

Постановка задачи и выбор критерия оптимизации. Пусть для строительства некоторого объекта можно использовать несколько различ­ных комплектов машин

Условия работы, в которых придется работать комплекту машин, не известны. Однако известны затра­ты Yij табл. 3.6 или прибыль Рij табл. 3.7 при использовании i-ro комплекта машин в j-ых условиях работы. Требуется определить оптимальный ком­плект машин различными методами оптимизации.

Метод минимальных потерь (метод Вальда).

При использовании критерия затрат в методе Вальда выбирается тот комплект машин, для которого наибольшие затраты при самых неблаго­приятных условиях работы из всех возможных меньше, чем наибольшие затраты при самых неблагоприятных условиях работы для любого другого комплекта машин (принцип минимакса).

Затем определяется минимальная величина, которая и определяет оп­тимальный комплект машин. В нашей задаче таким комплектом машин яв­ляется третий комплект машин, для которого

При использовании критерия прибыли в методе Вальда выбирается тот комплект машин, для которого наименьшая прибыль больше, чем наи­меньшая прибыль для любого другого комплекта машин (принцип макси-мина).

Метод минимакса (максимина) является наиболее осторожным, консер­вативным при выборе оптимального комплекта машин, так как он страхует от отрицательных последствий при самых неблагоприятных усло­виях работы. Это стратегия перестраховщика, она ориентирована на наи­худшие условия работы комплекта машин.

Для снижения трудоемкости определения оптимального комплекта ма­шин в условиях полной неопределенности методом Вальда целесообразно использовать электронно-вычислительную технику, которая не только сни­жает трудоемкость требуемых вычислений, но и резко сокращает время поиска.

Ниже приводится программа, написанная на языке программирования Фортран, для определения оптимального комплекта машин в условиях полной неопределенности методом Вальда (прогр. 3.4).

В результате расчета на печать выводятся: оптимальный комплект машин и минимальные затраты (максимальная прибыль) для оптимального комплекта

машин.

Максимальная из всех минимальных прибылей P,_min будет прибыль для третьего комплекта машин, и она будет равна 10. Таким образом, используя метод Вальда, оптимальным комплектом машин при использовании крите­рия прибыли будет третий.

Метод минимакса (максимина) является наиболее осторожным, консер­вативным при выборе оптимального комплекта машин, так как он страхует от отрицательных последствий при самых неблагоприятных усло­виях работы. Это стратегия перестраховщика, она ориентирована на наи­худшие условия работы комплекта машин.

Для снижения трудоемкости определения оптимального комплекта ма­шин в условиях полной неопределенности методом Вальда целесообразно использовать электронно-вычислительную технику, которая не только сни­жает трудоемкость требуемых вычислений, но и резко сокращает время поиска.

Ниже приводится программа, написанная на языке программирования Фортран, для определения оптимального комплекта машин в условиях полной неопределенности методом Вальда (прогр. 3.4).

В результате расчета на печать выводятся: оптимальный комплект машин и минимальные затраты (максимальная прибыль) для оптимального комплекта

машин.

Метод минимального риска (Метод Сэвидока),

При использовании метода минимального риска выбирается тот ком­плект машин, для которого наибольший риск из всех возможных меньше, чем наибольший риск для любого другого.

Результаты вычисления заносятся в табл. 3.11.

Затем, используя матрицу риска табл. 3.11, применяют критерий Вальда. В нашей задаче критерий максимина.

Максимальная величина риска, расположенная в последнем столбце табл. 3.11, определяет оптимальный комплект машин. При использовании метода Сэвиджа оптимальным комплектом машин будет комплект К₂ .

Метод минимального риска не допускает чрезмерно высоких потерь, к которым могут привести ошибочные решения. Хотя этот метод и имеет некоторые преимущества перед методом Вальда, однако и он является дос­таточно осторожным.

Для снижения трудоемкости определения оптимального комплекта машин в условиях полной неопределенности методом Сэвиджа целесообраз­но использовать электронно-вычислительную технику, которая не только снижает трудоемкость требуемых вычислений, но и резко сокращает время поиска.

Ниже приводится программа, написанная на языке программирования Фортран, для определения оптимального комплекта машин в условиях полной неопределенности методом Сэвиджа (прогр. 3.5).

В результате расчета на печать выводятся: оптимальный комплект машин и минимальные затраты (максимальная прибыль) для оптимального комплекта машин.

Метод обобщенного минимакса (метод Гурвица). Согласно этому ме­тоду находится взвешенная комбинация наилучшего и наихудшего сочета­ний случайных величин с помощью коэффициента оптимизма а, при кото­ром критерий Гурвица достигает максимума при минимизации затрат.

где Рimin — минимально возможная прибыль для i-ro комплекта машин; Pimax — максимально возможная прибыль для i-ro комплекта машин. При использовании метода Гурвица находят значения и для каждого комплекта машин и определяют расчетное значение прибыли для принятой величины критерия оптимизма. Примем для нашей задачи ве­личину критерия оптимизма, а = 0,4. Исходная информация и расчетные значения критерия Гурвица по критерию максимальной прибыли представ­лены в табл. 3.13 для коэффициента оптимизма, а = 0,4.

В нашей задаче при использовании метода Гурвица и при величине критерия оптимизма а = 0.4 наиболее эффективным комплектом машин является второй комплект машин. При а = 0 метод Гурвица соответствует методу Вальда.

Для снижения трудоемкости определения оптимального комплекта ма­шин в условиях полной неопределенности методом Гурвица целесообразно использовать электронно-вычислительную технику, которая не только сни­жает трудоемкость требуемых вычислений, но и резко сокращает время поиска.

Ниже приводится программа, написанная на языке программирования Фортран, для определения оптимального комплекта машин в условиях полной неопределенности методом Гурвица (прогр. 3.6).

В результате расчета на печать выводятся: оптимальный комплект машин и минимальные затраты (максимальная прибыль) для оптимального комплекта

машин.

Результаты расчета - последний столбец табл. 3.14 показывает, что оп­тимальным комплектом машин является третий комплект машин, обеспечивающий минимальные усредненные затраты.

При использовании критерия прибыли в методе Лапласа ищется максимум среднеарифметического значения прибыли.

Результаты расчета табл. 3.15 показывают, что наиболее эффективным: комплектом машин является комплект машин номер три.

По существу критерий недостаточного обоснования соответствует: критерию минимума (максимума) математического ожидания, если пред­положить, что вероятность встречи различных условий работы одинакова.

Окончательное решение после использования всех выше рассмотрен­ных критериев оптимизации в условиях неопределенности принимается: исходя из имеющегося опыта, интуиции и различных дополнительных со­ображений, неучтенных при комплектовании машин.

Для снижения трудоемкости определения оптимального комплекта ма­шин в условиях полной неопределенности методой Лапласа целесообразно использовать электронно-вычислительную технику, которая не только сни­жает трудоемкость требуемых вычислений, но и резко сокращает время поиска.

Ниже приводится программа, написанная на языке программирования/ Фортран, для определения оптимального комплекта машин в условиях полной неопределенности методом Лапласа (прогр. 3.7).

В результате расчета на печать выводятся: оптимальный комплект машин и минимальные затраты (максимальная прибыль) для оптимального комплекта машин.

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте задачу оптимального комплектования машин в условиях

полной определенности.

2. Дайте определение понятия "Граф возможных комплектов машин".

3. Сформулируйте принцип оптимальности Беллмана.

4. Напишите функциональное уравнение Беллмана и раскройте его со-

держание.

5. Изложите алгоритм оптимального комплектования машин методом динамического программирования.

6. Сформулируйте задачу комплектования машин в условиях неполной

определенности с ограничениями.

7. Напишите математическую модель оптимального комплектования машин в условиях неполной определенности с ограничениями.

8. Изложите алгоритм оптимального комплектования машин симплекс-методом.

9. Сформулируйте задачу комплектования машин в условиях неполной

определенности о среде.

10. Напишите математическую модель оптимального комплектования

машин в условиях неполной определенности о среде.

11. Изложите алгоритм оптимального комплектования машин с исполь­зованием статистических решений.

12. Сформулируйте задачу комплектования машин в условиях полной

неопределенности.

13. Напишите математические модели различных методов оптимального

комплектования машин в условиях полной неопределенности (Вальда, Сэвнджа, Гурвица и Байеса Лапласа).

14. Изложите алгоритмы различных методов оптимального комплектования

машин в условиях полной неопределенности.