18. Числовые функции. Способы задания функции. Обратная функция. Элементарные функции, их свойства и графики.

Функ-я на числовой прямой.

Правило по которому каждому числу из некоторого подмножества числовой прямой(наз-го областью определения) ставится в соответствии какоето вещественное число. Способы задания функ-и: 1)Аналитический f(x)=2х/(x+1) 2)табличный Элементарные функ-и: 1)f(x)=c 2)ax+b линейная функ. 3)anx^n+an-1x^n-1+an-2x^n-2… многочлены 4)х^ -степенная 5)а^x-показател-я

Правило по которому каждому числу из некоторого подмножества числовой прямой(наз-го областью определения) ставится в соответствии какоето вещественное число. Способы задания функ-и: 1)Аналитический f(x)=2х/(x+1) 2)табличный Элементарные функ-и: 1)f(x)=c 2)ax+b линейная функ. 3)anx^n+an-1x^n-1+an-2x^n-2… многочлены 4)х^ -степенная 5)а^x-показател-я

6)sinx, cosx-тригонометр-я 7)logax-обратная к а^x.

19. Предел функции в точк. Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы. Операции над пределами.

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀, если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, n€N (x_n≠x₀), сходящейся к х₀

(т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f(x_n), n€N, сходится к числу А, т.е. . Геометрический смысл предела этой функции, что для всех точек х, достаточно близких к точке х₀, соответствующие значения функции как угодно мало отличается от числа А.

Односторонние пределы.

Считается, что х стремится к х₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем х₀ (слева от х₀), большим, чем х₀ (справа от х₀), или колеблясь около точки х₀.

Число А₁ называется пределом функции y=f(x) слева в точке х₀, если для любого ε<0 существует число σ=σ(ε)>0 такое, что при х€(x₀-σ;x₀), выполняется неравенство |f(x)-A₁|<ε

Пределом функции справа называется

Свойства пределов.

1) если предел функция равна этому числу плюс б.м.

ε – сколь угодно малое число

|f(x)-a|=α; f(x)=a+ α

2) сумма конечного числа б.м. чисел есть б.м. число

3) предел произведения равен произведению пределов

4) константы можно выносить за знак предела

5)

20. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми. Эквивалентные бесконечно малые функции; их свойства. Теоремы о пределах. Признак существования предела функции. Замечательные пределы.

Бесконечно большая функция. Фун-я у=f(x) наз-ся бесконечно большой при х->х0, если для любого числа М>0 сущ-ет число =(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-x0|<, выполняется неравенство |f(x)|>M. Записывают Lim f(x)=  (х->х0). Пример: у=1/(х-2) есть ббф при х->2.

Если f(x) стремится к бесконечности при х->х0 и принимает лишь положительные знач-я, то пишут limf(x)=+(х->x0) , если лишь отрицательные знач-я, то limf(x)=-(х->x0). Функ-я у=f(x), заданная на всей числовой прямой, наз-ся беск-но боль-й при х->, если для любого числа М>0 найдётся такое число N=M(M)>0, что при всех х, удовлетвор-х неравенству |x|>N, выполняется неравенство |f(x)>M|. Напр: у=2 степ. Х, есть ббф при х->. Бесконечно малая функ-я. Функ-я у=f(x) наз-ся бесконечно малой при х->х0, если Limf(x)=0 (x->x0). Означает: для любого числа >0 найдётся число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-x0|<, выполняется неравенство |f(x)|< .

.