16. Теоремы о сравнении пределов функций.

Теорема 2. Если существует конечный предел lim_x→a f(x) = A, то найдется проколотая окрестность точки a, в которой функция ограничена.

Доказательство. Возьмем окрестность V = (A − 1,A + 1) точки A и найдем проколотую окрестность U точки a такую, что f(U) ⊂ V . Тогда |f(x)−A| < 1 ∀x ∈ U и значит |f(x)| ≤ 1 + |A| ∀x ∈ U. Ч.т.д.

Теорема 3. Если существуют пределы lim_x→a f(x) = A1, lim_x→a g(x) = A₂ и f(x) ≤ g(x) в некоторой проколотой окрестности U точки a, то A₁ ≤ A₂.

Доказательство. Пусть x_n → a, x_n≠ a. Тогда найдется номер N: xn ∈ U ∀n > N и значит f(x_n) ≤ g(xn) для всех таких n. По теореме о сравнении пределов последовательностей, A₁ ≤ A₂. Ч.т.д.

Теорема 4. Если существуют пределы lim_x→a f(x) = A, lim_x→a g(x) = A и f(x) ≤ ψ(x) ≤ g(x) в некоторой проколотой окрестности U точки a, то ∃ lim_x→a ψ(x) = A.

Доказательство. Пусть xn → a, x_n≠ a. Тогда найдется номер N: x_n ∈ U ∀n > N и значит f(x_n) ≤ ψ(x_n) ≤ g(x_n) для всех таких n. По теореме о теореме о двух милиционерах, ∃ lim_n→∞ ψ(xn) = A. Поскольку это выполнено для любой последовательности xn, по определению предела в смысле Гейне, ∃ lim_x→a ψ(x) = A. Ч.т.д.

17. Предел произведения, частного, суммы функций.

Теорема 5. (об арифметических свойствах предела функции). Если существуют конечные lim_x→a f(x) = A, lim_x→a g(x) = B, то

a) ∃ lim_x→a(f(x) ± g(x)) = A ± B;

b) ∃ lim_x→a f(x)*g(x) = A* B;

c) если B≠ 0, то ∃ lim_x→a f(x)/g(x) = A/B.

Доказательство. Пусть x_n → a, x_n≠ a. Тогда по теореме о арифметических свойствах пределов для последовательностей ∃ lim_n→∞(f(x_n)±g(x_n)) = A±B, ∃ lim_n→∞ f(x_n)*g(x_n) = A·B и если B≠ 0, то ∃ lim_n→∞ f(x_n)/g(x_n) = A/B. В силу произвольности последовательности x_n и определения предела по Гейне, получим утверждение теоремы. Ч.т.д.

Теорема 6. Если функция f(x) ограничена в некоторой проколотой последовательности U точки a и ∃ lim_x→a ϕ(x) = 0 (∃ lim_x→a ϕ(x) = ∞), то ∃ lim_x→a f(x)ϕ(x) = 0 (∃ lim_x→a f(x)/ϕ(x) = 0).

Доказательство. Утверждение вытекает из теоремы 5 о пределах последовательностей и определения предела функции по Гейне.

18. Критерий Коши для пределов функций.

Теорема 7 (критерий Коши). Для того чтобы существовал конечный предел lim_x→a f(x) необходимо и достаточно, чтобы f(x) была определена в некоторой проколотой окрестности точки a и ∀ε > 0 ∃ проколотая окрестность U точки a такая, что |f(x)−f(y)| < ε ∀x,y ∈ U.

Доказательство. Пусть ∃ lim_x→a f(x) = A < ∞. Фиксируем ε > 0 и найдем проколотую окрестность U точки a: |f(x) − A| < ε/2 для всех x ∈ U. Тогда

|f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − A| + |f(y) − A| <ε/2+ε/2= ε ∀x,y ∈ U.

Обратно, возьмем произвольную последовательность xn → a, xn 6= a ∀n. Тогда последовательность f(xn) удовлетворяет условиям критерия Коши для последовательностей. Действительно, возьмем ε > 0 и найдем проколотую окрестность U точки a такую, что |f(x) − f(y)| < ε ∀x,y ∈ U. Далее найдем N: x_n ∈ U для всех n > N. Тогда |f(x_m) − f(x_n)| < ε ∀n,m > N. По критерию Коши для последовательностей, существует конечное число A такое, что f(xn) → A при n → ∞. В силу произвольности xn, можем заключить, что для любой последовательности xn, сходящейся к a, существует конечный предел f(xn). Покажем, что все эти пределы совпадают. Действительно, пусть x_n,y_n → a, x_n,y_n ≠ a ∀n и f(x_n) → A, f(y_n) → B, причем A≠ B. Рассмотрим последовательность {z_n}: x₁.y₁,x₂,y₂,.... По доказанному предел f(z_n) существует и конечен. С другой стороны, последовательность f(z_n) имеет две подпоследовательности f(x_n),f(y_n), сходящиеся к двум разным пределам. Противоречие. Значит пределы всех последовательностей совпадают. По определению предела в смысле Гейне получим, что существует конечный предел lim_x→a f(x). Ч.т.д.

Говорим, что функция f(x) не убывает (не возрастает, убывает, возрастает) на интервале (a,b), если из того, что x1 < x2, x1,x2 ∈ (a,b) вытекает, что f(x1) ≥ f(x2) (f(x1) ≤ f(x2), f(x1) > f(x2), f(x1)< f(x2)). Пусть a ∈ R и U – окрестность точки a. Тогда множества {x ∈ U: x > a} и {x ∈ U: x < a} назовем правой и, соответственно, левой окрестностями точки a.