
- •Множества и операции над ними. Свойства операций над множествами.
- •Декартово произведение. Отображения множеств.
- •Мощность множества. Теорема Кантора.
- •Счетные и не более чем счетные множества. Несчетность множества вещественных чисел и счетность множества рациональных чисел.
- •Верхние и нижние грани. Супремум и инфимум. Основное свойство супремума и инфимума.
- •Числовая последовательность и ее предел. Эквивалентность различных определений предела.
- •Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел. Теоремы о сравнении пределов. Единственность предела.
- •Арифметические свойства пределов (предел суммы, произведения, частного).
- •Теорема о пределе произведения (частного) последовательностей.
- •Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Подпоследовательности, частичные пределы, теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •Свойства подпоследовательностей (существование предела при совпадении частичных пределов).
- •Верхний и нижний пределы, их свойства.
- •Критерий Коши для последовательностей.
- •Предел функции, определение предела на языке окрестностей, последовательностей, на языке ε, δ. Их эквивалентность.
- •Теоремы о сравнении пределов функций.
- •Предел произведения, частного, суммы функций.
- •Критерий Коши для пределов функций.
- •Монотонные функции. Правый и левый пределы.
- •Теорема о существовании предела монотонной функции.
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •1. Первый замечательный предел:
- •2. Второй замечательный предел:
- •Непрерывность функции. Определения, их эквивалентность.
- •Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность суперпозиции.
- •Односторонняя непрерывность. Непрерывность на отрезке. 1-я и 2-я теоремы Вейерштрасса.
- •Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
- •Теорема о существовании нулей непрерывной функции, принимающей на концах промежутка значения разных знаков.
- •Теорема о непрерывности обратной функции.
- •Классификация точек разрыва.
- •Производная функции. Непрерывность функции, имеющей производную. Правая и левая производные.
- •Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференцируемости и существования производной.
- •Касательная к графику, ее существование.
- •Производная суммы, произведения, частного.
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производные от тригонометрических функций и обратных к ним.
- •Производная от логарифмической, показательной и степенной функции
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически.
- •Локальные экстремумы и теорема Ферма.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши.
- •Теорема Лагранжа и теорема Коши.
- •Теорема Лопиталя.
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •Условия возрастания и убывания функции.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Выпуклость кривой (графика функции), достаточные условия выпуклости. Точки перегиба.
- •Асимптоты.
- •Полное исследование и построение графика.
- •Первообразная и ее свойства. Буква z дальше будет обозначать знак интеграла!
- •Неопределенный интеграл. Следствия из определения.
- •Линейность операции интегрирования.
- •Метод интегрирования по частям, замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Теорема о разложении рациональной функции на элементарные дроби (без доказательства).
- •Интегрирование элементарных дробей.
- •Нахождение интегралов, сводящимся к интегралам от рациональных функций.
- •Разбиения. Определенный интеграл Римана.
- •Геометрический смысл интеграла.
- •Необходимое условие интегрируемости.
- •Суммы Дарбу, их свойства.
- •Существование интеграла, в случае, когда пределы верхних и нижних сумм Дарбу совпадают. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
- •Интегрируемость непрерывной функции.
- •Аддитивные свойства интеграла и следствия.
- •Интеграл от линейной комбинации функций.
- •Неравенства для интегралов.
- •Интегрируемость модуля функции.
- •Теорема о среднем.
- •Теорема о дифференцируемости интеграла по верхнему пределу.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям.
- •Вычисление площади в декартовых координатах.
- •Вычисление площади в полярных координатах.
- •Вычисление объема тела вращения.
- •Вычисление площади боковой поверхности тела вращения.
- •Кривые. Гладкая кривая. Формула длины гладкой кривой.
Предел функции, определение предела на языке окрестностей, последовательностей, на языке ε, δ. Их эквивалентность.
Пусть E ⊂ R – числовое множество и f : E → R – числовая функция. Для числовых функций f,g : E → R определены операции сложения, вычитания, умножения и деления: f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x)/g(x). Если f отображает множество E в E1 а g отображает E2 в E3 и E1 ⊂ E2, то можно определить сложную функцию F(x) = g(f(x)), которая еще называется суперпозицией функций g и f и обозначается g ◦ f. Функция F будет также определена на E. Множество пар (x,f(x)) (x ∈ D(f)) называется графиком функции f. Пусть U – окрестность точки a. Тогда множество U\{a} называется проколотой окрестностью точки a. В частности, если U – ε-окрестность точки a, то это множество называется проколотой ε-окрестность точки a.
Определение 1 (определение предела функции в точке в смысле Коши). Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если f определена в некоторой проколотой окрестности U точки a и для любого ε > 0 ∃δ > 0: |f(x) − b| < ε ∀x ∈ U: |x − a| < δ.
Определение 2 (определение предела функции в точке в смысле Гейне). Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если f определена в некоторой проколотой окрестности точки a и для любой последовательности xn → a при n → ∞ такой, что xn 6= a ∀n, выполняется, что f(xn) → b при n → ∞.
Определение 3 (определение предела функции на языке окрестностей). Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если f определена в некоторой проколотой окрестности точки a и для любой окрестности V точки b найдется проколотая окрестность U точки a такая, что f(U) ⊂ V .
Определение 1 имеет смысл только, если a,b – конечные точки, в то же время определения 2, 3 могут быть использованы и если a,b = ±∞,∞. Если число b является пределом функции f при x → a, то пишем b = lim x→a f(x).
Теорема 1 (о эквивалентности определений). Пусть b – конечная точка. Тогда определения 1-3 эквивалентны.
Доказательство. Пусть выполнено определение 1. Возьмем последовательность xn → a при n→∞, xn≠ a. Пусть ε > 0, найдем δ > 0: |f(x) − b| < ε. По определению предела найдем номер N: |xn −a| < δ при n > N. Тогда и |f(xn)−b| < ε. Таким образом, f(xn) → b при n → ∞. Обратно, пусть выполнено определение 2. Предположим противное, что определение 1 неверно. Тогда ∃ε > 0: ∀δ > 0 ∃x: |x−a| < δ и |f(x)−b| ≥ ε. Возьмем δn = 1/n и найдем соответствующие числа xn: |xn−a|<δn и |f(xn) − b| ≥ ε. Тогда xn → a и f(xn) -/→ b, противоречие. Т.о., определения 2 и 1 эквивалентны. Покажем, что определение 1 и 3 эквивалентны. Пусть выполнено определение 1. Возьмем окрестность V точки b. По определению окрестности найдется ε-окрестность V0 точки b: V0⊂V . По определению 1 найдется δ > 0: |f(x) − b| < ε при всех x: |x − a| < δ. Это означает, что если U – δ-окрестность точки a, то f(U) ⊂ V0 ⊂ V . Обратно, пусть выполнено определение 3. Возьмем ε-окрестность V точки b и найдем по определению 3, что ∃ проколотая окрестность U точки a такая, что f(U) ⊂ V . Но проколотая окрестность U точки a содержит некоторую проколотую δ-окрестность U0 точки a такую, что U0 ⊂ U и значит f(U0) ⊂ f(U) ⊂ V . Отсюда вытекает, что |f(x)−b| < ε при всех x ≠ a : |x−a| < δ. Ч.т.д.