9. Теорема о пределе произведения (частного) последовательностей.

10. Теорема о пределе монотонной последовательности.

Теорема 7 (о пределе монотонной последовательности). Пусть последовательность x_n не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу). Тогда существует конечный lim _n→∞ x_n. Доказательство. Пусть, например, последовательность xn не убывает и ограничена сверху. Положим A = {x₁,x₂,x₃,...} и β = sup _n∈N x_n = sup A. Покажем, что ∃ lim _n→∞ x_n = β. Возьмем ε > 0. В силу свойств супремума, найдется число x_n0 ∈ A: β − ε < x_n0 ≤ β. Поскольку последовательность не убывает, β − ε < x_n ≤ β ∀_n ≥ n₀ и значит |x_n − β| < ε ∀n ≥ n₀. Таким образом, ∃ lim _n→∞ x_n = β. Пусть теперь последовательность x_n не возрастает и ограничена снизу. Тогда последовательность -x_n не убывает и ограничена сверху. По доказанному, ∃ lim _n→∞ (-x_n) = − lim _n→∞ x_n. Ч.т.д.

Определение 1. Пусть дана последовательность x_n и n₁,n₂,... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда множество x_n1,x_n2,x_n3,... называется подпоследовательностью последовательности x_n. Подпоследовательность {x_nk} сама является последовательностью и мы можем рассматривать вопрос о ее сходимости. Предел подпоследовательности последовательности {x_n} называется частичным пределом последовательности {x_n}, а наибольший и наименьший из частичных пределов последовательности называются верхним и нижним пределом последовательности и обозначаются так:

__

lim _n→∞ x_n, lim _n→∞x_n.

Если последовательность не ограничена сверху (снизу) полагаем по определению, что lim _n→∞x_n = +∞ (lim _n→∞ x_n = −∞).

11. Подпоследовательности, частичные пределы, теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема 8 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Поскольку последовательность ограничена найдутся числа m,M: m ≤ x_n ≤ M ∀n. Разделим отрезок [m,M] пополам и обозначим через ∆1 ту половину, которая содержит бесконечное количество членов последовательности. Возьмем любой член последовательности x_n1 ∈ ∆1. Разделим ∆1 пополам и обозначим через ∆2 ту половину, которая содержит бесконечное количество членов последовательности. Выберем в ∆2 член последовательности x_n2 с n₂ > n₁. Повторяя рассуждения, построим последовательность вложенных промежутков ∆n = [a_n,b_n] такую, что b_n − a_n → 0 при n → ∞ и каждый отрезок [a_n,b_n] содержит бесконечное количество членов последовательности и строим подпоследовательность x_nk ∈ ∆k. По принципу вложенных промежутков, существует точка a ∈ ∩^∞_i=1∆i. Покажем, что a = lim k→∞ x_nk. Возьмем ε > 0 и найдем N: ∀k > N ∆k ⊂ (a−ε,a+ε) (что выполнено, если b_k −a_k < ε). Тогда и |x_nk −a| < ε при всех k > N. Ч.т.д.

Следствие 1. Из всякой последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к конечному числу или к ±∞.

12. Свойства подпоследовательностей (существование предела при совпадении частичных пределов).

Теорема 9 (о свойствах частичных пределов). Последовательность {x_n} имеет предел равный a ⇔ любая ее подпоследовательность сходится к a.

Доказательство. Если последовательность x_n имеет предел равный a, то вне любой окрестности точки a содержится конечное или пустое множество членов последовательности. Тогда и подпоследовательность обладает теми же свойством и значит имеет предел равный числу a. Обратно, пусть все подпоследовательности сходятся и сходятся к одному и тому же числу a. Покажем, что a = lim x_n. Если это не так, то найдется окрестность U точки a, вне которой находится бесконечное количество членов последовательности. Эти члены образуют некоторую подпоследовательность, которая не сходится к a, противоречие.