7. Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел. Теоремы о сравнении пределов. Единственность предела.

Теорема 1. Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство. Пусть последовательность x_n → a. Возьмём произвольное число ε > 0, например ε = 1. Для этого фиксированного значения ε существует свой фиксированный номер N такой, что при всех n > N будет выполняться |x_n −a| < 1. Из этого неравенства вытекает, что |x_n| ≤ 1 + |a| при всех n > N. Возьмем M = max(|x₁|,|x₂|,...,|x_N|,1 + |a|). Тогда |x_n| ≤ M ∀n. Следовательно, x_n ограничена. Ч.т.д.

Теорема 2 (о предельном переходе в неравенстве). Пусть x_n → a, y_n → b при n → ∞ и x_n ≤y_n ∀n. Тогда a ≤ b.

Доказательство. Предположим противное, что a > b. Возможны два случая: a < +∞ и a = +∞. Рассмотрим, например, случай, когда a – конечное число. Возьмем ε < (a−b)/2 и найдем номера N₁,N₂ такие, что |x_n − a| < ε при всех n > N₁ и |y_m − b| < ε при всех m > N₂. Тогда при n > max(N₁,N₂) y_n < b + ε < a − ε < x_n, а это противоречит условию. Случай a = +∞ также невозможен, поскольку по теореме 1 последовательность y_n ограничена и значит, ограничена сверху, а тогда и последовательность x_n ограничена сверху, а это невозможно, поскольку x_n → +∞.

Следствие 1. Предел последовательности, если он существует единственен.

Доказательство. Пусть x_n → a при n → ∞ и x_n → b при n → ∞. Имеем неравенство x_n ≤ y_n = x_n. Тогда по теореме 2 a ≤ b. Аналогично получим, что b ≤ a и значит a = b.

Теорема 3 (о зажатой переменной). Пусть x_n → a, y_n → a при n → ∞ и x_n ≤ z_n ≤ y_n ∀n, причем a ∈ R или a = ±∞. Тогда ∃lim n→∞ z_n = a.

Доказательство. Возьмем произвольную окрестность U точки a. Найдется ε-окрестность U₀ точки a, если a – конечная точка и окрестность U₀ вида {x > M} или {x < −M} (M > 0), если a = +∞ или a = −∞, такая, что U₀ ⊂ U. По определению можем найти номер N (одни и тот же для обоих последовательностей) такой, что x_n,y_n ∈ U₀ при всех n > N. Тогда очевидно, что z_n ∈ U₀ ⊂ U при всех n > N.

8. Арифметические свойства пределов (предел суммы, произведения, частного).

Теорема 4 (об арифметических свойствах предела). Если ∃lim n→∞ xn = a, ∃lim n→∞ y_n = b и a,b – конечные числа, то

1) ∃ lim _n→∞ (x_n ± y_n) = a ± b;

2) ∃ lim _n→∞ x_n · y_n = a · b;

3) если b ≠ 0, то ∃ lim _n→∞x_n/y_n = a/b.

Доказательство.

1) Возьмем ε > 0 и найдем номер N такой, что |x_n − a| < ε/2, |y_n −b| < ε/2 при всех n > N. Тогда |(x_n ±y_n)−(a±b)| ≤ |x_n −a|+|y_n −b| < ε при n > N. В силу произвольности ε ∃ lim n→∞ (x_n ± y_n) = a ± b.

2) По теореме 1 последовательность y_n ограничена и значит, найдется число M > 0: |y_n| ≤ M ∀n. Тогда имеем неравенство |x_ny_n − ab| = |(x_n − a)y_n + a(y_n − b)| ≤ M|x_n − a| + (|a| + 1)|y_n − b| ∀n. (1)

Возьмем ε > 0 и по определению найдем номера N₁, N₂ такие, что |x_n − a| < ε/(2M), |y_m − b| < ε/(2(|a| + 1)) при всех n > N₁, m > N₂. Тогда из (1) получим, что при n > max(N₁,N₂) |x_ny_n − ab| < ε 2 + ε 2 = ε. 3) Пусть b ≤0. Найдем номер N₁: при n > N₁ |y_n − b| < |b|/2. Из этого неравенства вытекает, что |b| − |y_n| < |b|/2 и значит |y_n| ≥ |b|/2 при n > N₁. Оценим n > N₁ разность |xn/ yn – a/b| = |x_nb − y_na|/ |y_nb| ≤ (|x_n − a||b| + |yn − b||a|)/|yn||b| ≤ 2|xn − a|/|b| + (2|yn − b||a|)/ |b|² (2)

Найдем номера N₂, N₃: при n > N₂ |x_n−a| < ε|b|/2 и при n > N₃ |y_n−b| < ε|b|²/(2(1+|a|). Тогда из (2) получим, что при n > max(N₁,N₂,N₃) |x_n/y_n – a/b| ≤ ε/2 + ε/2 = ε. Ч.т.д.